《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 因式分解：$2x^{2}-x - 3$。
1. 信息提取
利用条件 准确审题
二次三项式，没有公因式可提取，也不能利用完全平方公式来因式分解。
因式分解：$2x^{2}-x - 3$。
2. 思路精析
明确思路 快速解题
第一步：二次项$2x^{2}$可以表示为$x·2x$；
第二步：常数项$-3$可以表示为$(-1)×3$或$1×(-3)$，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第 3 个“交叉相乘之和”的结果等于一次项$-x$，即$2x^{2}-x - 3=(x + 1)(2x - 3)$。
一般地，二次三项式$ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，若二次项$ax^{2}$可以分解成两个因式之积，即$ax^{2}=a_{1}x· a_{2}x$，常数项$c$也可以分解成两个因数之积，即$c = c_{1}· c_{2}$，则我们可以把$a_{1}x$，$a_{2}x$，$c_{1}$，$c_{2}$排列如右图。先按斜线交叉相乘，再相加，得到$(a_{1}c_{2}+a_{2}c_{1})x$，若它正好等于$ax^{2}+bx + c$的一次项$bx$，即$(a_{1}c_{2}+a_{2}c_{1})x = bx$，则二次三项式可以分解为两个因式$(a_{1}x + c_{1})$与$(a_{2}x + c_{2})$之积，即$ax^{2}+bx + c=(a_{1}x + c_{1})(a_{2}x + c_{2})$。像这种借助十字交叉线，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

3. 超详解答
满分答案 规范答题
方法一：十字相乘法
解：$2x^{2}-x - 3=(x + 1)(2x - 3)$。

方法二：裂项分组法
解：$2x^{2}-x - 3=2x^{2}-x - 2 - 1=(2x^{2}-2)+(-x - 1)=2(x + 1)(x - 1)-(x + 1)=(x + 1)(2x - 3)$。
学母题 找规律
当二次三项式不能用提公因式法，也不能运用乘法公式进行因式分解时，可以尝试十字相乘法和裂项分组法来解决。运用十字相乘法，关键观察各项以及各项的系数，在交叉相乘再求和的运算过程中凑出各项系数。预备知识：质因数分解。

答案：
方法一：十字相乘法
解：$2x^{2}-x - 3=(x + 1)(2x - 3)$。

方法二：裂项分组法
解：$2x^{2}-x - 3=2x^{2}-x - 2 - 1=(2x^{2}-2)+(-x - 1)=2(x + 1)(x - 1)-(x + 1)=(x + 1)(2x - 3)$。