《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

2. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，BC=10，E是边AB上一点，BE=6，点D在边BC上以1个单位/秒的速度由点B向点C运动，同时点F在边AC上以x个单位/秒的速度由点C向点A运动，若运动过程中存在某一时刻△BDE与△CDF全等（其中∠B与∠C是一组对应角），求x的值。

答案： 2.【思路精析】分两种情况，当$\triangle BDE \cong \triangle CDF$时，求出$t = 5$，由$CF = xt = 6$，求出$x = 1.2$；当$\triangle BDE \cong \triangle CFD$时，点$D$和点$F$同时出发，点$D$和点$F$的速度相同，得到$x$的值，于是得到答案.
【超详解答】解：设点$D$、$F$运动的时间是$t$秒，
当$\triangle BDE \cong \triangle CDF$时，
$\therefore BE = CF = 6, BD = CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 10 = 5$.
$\therefore t = 5$.
$\because CF = xt = 6$，
$\therefore x = 1.2$；
当$\triangle BDE \cong \triangle CFD$时，
$\therefore BD = CF$.
$\because$点$D$和点$F$同时出发，运动的路程相同，
$\therefore$点$D$和点$F$的速度相同.
$\therefore x = 1$.
$\therefore x$的值为$1$或$1.2$.

3. 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C。当AC=8cm，BC=6cm时，过点B作BP⊥l于点P，延长BP到点F，使PF=BP。M是AC上一点，N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E。点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C。点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F。点M、N同时开始运动，各自到达相应的终点时停止运动。设运动时间为t秒，请求出所有使△MDC与△CEN全等的t的值。

答案： 3.【思路精析】分点$N$沿$F \to C$路径运动、点$N$沿$C \to B$路径运动、点$N$沿$B \to C$路径运动、点$N$沿$C \to F$路径运动四种情况，分别计算即可.
【超详解答】由题意，得$CF = BC = 6 cm$.
$\because MD \perp$直线$l$，$BP \perp$直线$l$，$NE \perp$直线$l$，
$\therefore \angle MDC = \angle BPC = \angle CEN = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle DMC + \angle MCD = 90^{\circ}$.
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle MCD + \angle BCP = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle DMC = \angle BCP = \angle FCP$.
$\therefore$若$\triangle MDC$与$\triangle CEN$全等，则$CM = NC$.
当点$N$沿$F \to C$路径运动时，即当$0 \leq t \leq 2$
时，$CM = (8 - t) cm, CN = (6 - 3t) cm$，
则$8 - t = 6 - 3t$，解得$t = -1$(舍去)；
当点$N$沿$C \to B$路径运动时，即当$2 ＜ t \leq 4$
时，$CM = (8 - t) cm, CN = (3t - 6) cm$，
则$8 - t = 3t - 6$，解得$t = 3.5$；
当点$N$沿$B \to C$路径运动时，即当$4 ＜ t \leq 6$
时，$CM = (8 - t) cm, CN = (18 - 3t) cm$，
则$8 - t = 18 - 3t$，解得$t = 5$；
当点$N$沿$C \to F$路径运动时，即当$6 ＜ t \leq 8$
时，$CM = (8 - t) cm, CN = (3t - 18) cm$，
则$8 - t = 3t - 18$，解得$t = 6.5$.
综上所述，$t$的值为$3.5$或$5$或$6.5$.