《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，请你在图中画一条射线(不必写画法)，把它分成两个小等腰三角形，并标出底角的度数。

答案：
1.[思路精析]先根据AB=AC,∠A=108°，求得∠C=36°,再过点A作∠DAC=36°,则△ACD和△ABD均为等腰三角形.
[超详解答]解:如图所示,由AB=AC,∠A=108°,可知∠C=36°,过点A在∠BAC内部作射线AD,使得∠DAC=36°，则在△ABD中，∠BAD=72°,∠ADB=72°,在△ACD中,∠DAC=∠C=36°,故△ACD和△ABD均为等腰三角形，故射线AD即为所求.

2. 已知一个三角形有一个内角为36°，且可被分割成两个等腰三角形，求原三角形最大内角的所有可能值。

答案：
2.[思路精析]分为以下情况:
①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况;②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况;③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况;④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况;⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况.
[超详解答]解:①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况如图所示:

∠ABC=∠C=72°,∠A=36°,AD=BD=BC;②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况如图所示:

∠ABC=90°,∠A=36°,AD=CD=BD;③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况如图所示:

∠BAC=108°,∠B=36°,AB=BD,DA=DC;④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况如图所示:

∠ABC=126°,∠C=36°,AD=BD=BC;⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况如图所示:

综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°,90°,108°,126°,132°.

3. 已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系。

答案：
3.[思路精析]根据把三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，得出角与角之间的关系.
[超详解答]解:设∠ABC=y,∠C=x,过点B 的直线交边AC于点D.在△DBC中,①若∠C是顶角,如图1,则∠CBD=∠CDB=90°−$\frac{1}{2}$x,∠A=180°−x−y.而∠ADB＞90°,此时只能有∠A=∠ABD,即180°−x−y=y−(90°−$\frac{1}{2}$x)，即3x+4y=540°,即∠ABC=135°−$\frac{3}{4}$∠C;

②若∠C是底角,第一种情况:如图2,当DB=DC时,则∠DBC=x,在△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y−x.
由AB=AD,得2x=y−x,此时有y=3x，即∠ABC=3∠C.
由AB=BD,得180°−x−y=2x,此时3x+y=180°,即∠ABC=180°−3∠C.
由AD=BD,得180°−x−y=y−x,此时y=90°,即∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意锐角.第二种情况,如图3,当BD=BC时，∠BDC=x,∠ADB=180°−x＞90°,此时只能有AD=BD,从而∠A=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠C＜∠C,这与题设∠C是最小角矛盾.
∴当∠C是底角时，BD=BC不成立.
综上,∠ABC与∠C之间的关系是:∠ABC=135°−$\frac{3}{4}$∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=180°−3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意锐角.