《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 已知一个三角形各顶点坐标为 $ D(2,4) $、$ E(-2,2) $、$ F(3,2) $, 此三角形的形状是直角三角形.

答案： 1.【思路精析】直接根据所给两点之间的距离公式计算出这个三角形的三边长，再根据三边长之间的关系判断此三角形的形状即可。
【超详解答】解：
∵D(2,4)、E(-2,2)、F(3,2)，
∴DE=√(-2 - 2)²+(2 - 4)²=2$\sqrt{5}$，
EF=|3 + 2|=5，
DF=$\sqrt{(3 - 2)²+(2 - 4)²}$=$\sqrt{5}$。
∵DE²+DF²=20 + 5=25，EF²=25，
∴DE²+DF²=EF²。
∴此三角形是直角三角形。
故答案为：直角三角形。

2. 若数轴上两点 $ A_{1} $、$ A_{2} $ 分别表示实数 $ x_{1} $、$ x_{2} $, $ A_{1} $、$ A_{2} $ 两点间的距离记作 $ |A_{1}A_{2}| $, 那么 $ |A_{1}A_{2}| = |x_{2} - x_{1}| $.
问题: 对于平面上的任意两点 $ A_{1} $、$ A_{2} $ 间的距离是否有类似的结论呢?
猜想: 运用勾股定理, 就可以推导出平面上任意两点之间的距离公式.
探究: (1) 如图 1, $ A_{1} $、$ A_{2} $ 两点之间的距离 $ |A_{1}A_{2}| = $5;
(2) 如图 2, 已知平面上两点 $ A(1,1) $、$ B(5,4) $, 这两点之间的距离 $ |AB| = $5.

答案： 2.【思路精析】
(1)根据数轴上的两点距离公式求解即可；
(2)先求出AC与BC的距离，再根据勾股定理求解即可。
【超详解答】解：
(1)|A₁A₂|=|-1 - 4|=5。
故答案为：5。
(2)
∵|AC|=|5 - 1|=4，
|BC|=|1 - 4|=3，
∴|AB|=$\sqrt{AC²+BC²}$=$\sqrt{4²+3²}$=5。
故答案为：5。

3. 若点 $ A $ 的坐标为 $ (3,1) $, 点 $ B $ 的坐标为 $ (6,3) $, 点 $ P $ 是 $ x $ 轴上的动点, 求出 $ AP + BP $ 的最小值;

答案：
3.【思路精析】利用将军饮马模型，确定点A关于x轴的对称点坐标，再利用两点之间的距离公式即可求出AP + BP的最小值；
【超详解答】解：画出图象如下：其中点A'是点A关于x轴的对称点，

由将军饮马模型，可知AP + BP的最小值就是A'B的长，
∵A(3,1)，
∴A'(3,-1)。
又B(6,3)，
∴A'B=√(6 - 3)²+(3 + 1)²=5。
∴AP + BP的最小值为5。

4. 应用平面内两点间的距离公式, 求代数式 $ \sqrt{x^{2} + (y - 2)^{2}} + \sqrt{(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2}} $ 的最小值.

答案： 4.【思路精析】代数式$\sqrt{x²+(y - 2)²}+\sqrt{(x - 3)²+(y - 1)²}$表示点(x,y)到点(0,2)和(3,1)的距离之和，由两点之间线段最短可知，点(x,y)在以点(0,2)和(3,1)为端点的线段上时，其距离之和最小，再利用两点之间距离公式求解即可。
【超详解答】解：代数式$\sqrt{x²+(y - 2)²}+\sqrt{(x - 3)²+(y - 1)²}$表示点(x,y)到点(0,2)和(3,1)的距离之和，
由两点之间线段最短可知，点(x,y)在以点(0,2)和(3,1)为端点的线段上时，其距离之和最小，
∴$\sqrt{x²+(y - 2)²}+\sqrt{(x - 3)²+(y - 1)²}$的最小值为$\sqrt{(0 - 3)²+(2 - 1)²}$=$\sqrt{10}$。