《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 一次函数 $ y = 3x - 1 $ 的图象先向下平移 $ 2 $ 个单位长度，再向右平移 $ 3 $ 个单位长度后所得图象的函数表达式为 y = 3x - 12。

答案： 1.【思路精析】y = kx + b向下平移a个单位长度，得y = kx + (b - a)；y = kx + b向右平移a个单位长度，得y = k(x - a) + b，变形套用技巧公式即可.
【超详解答】解：先向下平移2个单位长度，得y = 3x - 1 - 2 = 3x - 3；再向右平移3个单位长度，得y = 3(x - 3) - 3 = 3x - 12.故答案为：y = 3x - 12.

2. 一次函数 $ y = 2x - 6 $ 的图象向上平移 6 个单位长度或向 左 平移 3 个单位长度，均可得到一次函数 $ y = 2x $ 的图象。

答案： 2.【思路精析】y = kx + b向上平移a个单位长度，得y = kx + (b + a)；y = kx + b向左平移a个单位长度，得y = k(x + a) + b，变形套用技巧公式即可.
【超详解答】解：由y = 2x = 2x - 6 + 6，得需向上平移6个单位长度；由y = 2x = 2(x + 3) - 6，得需向左平移3个单位长度.以上两种方式均可以得到直线y = 2x.故答案为：6，左，3.

3. 如图，一次函数 $ y = 2x + 6 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $，平移该图象使其与 $ x $ 轴交于点 $ P $，且 $ OP = 2OA $，求平移后图象的函数表达式。

答案： 3.【思路精析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，先求点A的坐标，再注意分类讨论得点P的坐标，最后求出函数表达式.
【超详解答】解：在y = 2x + 6中，当y = 0时，x = -3，即点A(-3,0)，OA = 3，OP = 6，点P的坐标是(-6,0)或(6,0).设平移后图象的函数表达式为y = 2x + b，将(-6,0)代入，得b = 12，则y = 2x + 12；将(6,0)代入，得b = -12，则y = 2x - 12.综上所述，平移后图象的函数表达式为y = 2x + 12或y = 2x - 12.

4. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $ \angle AOB = 90° $，$ \angle A = 60° $，点 $ A $ 的坐标为 $ (-2\sqrt{3}, 2) $，若一次函数 $ y = -2x + 2 $ 的图象沿 $ x $ 轴平移 $ m $ 个单位后与 $ \triangle AOB $ 仍有公共点，求 $ m $ 的取值范围。

答案：
4.【思路精析】本题主要考查的是一次函数的几何变换，求出直线与x轴的交点坐标是解答本题的关键.
【超详解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图所示.

∵A(-2√3,2)，
∴AE = 2，OE = 2√3.根据勾股定理，得AO = 4，∠AOE = 30°，∠BOF = 180° - 90° - 30° = 60°，∠ABO = 180° - 90° - 60° = 30°，∠OBF = 180° - 90° - 60° = 30°.
∵在Rt△AOB中，∠ABO = 30°，
∴AB = 2AO = 8.
∴BO = √(AB² - AO²) = 4√3.
∵在Rt△BOF中，∠OBF = 30°，
∴OF = 1/2OB = 2√3.
∴BF = √(OB² - OF²) = 6，即点B(2√3,6).
∵对于y = -2x + 2，当y = 0时，x = 1，
∴一次函数y = -2x + 2的图象与x轴的交点坐标为(1,0).
设过点A且与y = -2x + 2的图象平行的直线表达式为y = -2x + p，把点A(-2√3,2)代入y = -2x + p，得p = 2 - 4√3，则y = -2x + 2 - 4√3.
∵当y = 0时，x = 1 - 2√3，
∴y = -2x + 2 - 4√3的图象与x轴的交点坐标为(1 - 2√3,0).
∵y = -2x + 2的图象与x轴的交点坐标为(1,0)，
∴m = 1 - (1 - 2√3) = 2√3.
设过点B且与y = -2x + 2的图象平行的直线表达式为y = -2x + q，把点B(2√3,6)代入y = -2x + q，得q = 6 + 4√3，则y = -2x + 6 + 4√3.
∵当y = 0时，x = 3 + 2√3，
∴y = -2x + 6 + 4√3的图象与x轴的交点坐标为(3 + 2√3,0).
∵y = -2x + 2的图象与x轴的交点坐标为(1,0)，
∴m = 3 + 2√3 - 1 = 2√3 + 2.
综上所述，当-2√3 ≤ m ≤ 2√3 + 2时，一次函数y = -2x + 2的图象沿x轴平移m个单位后与△AOB仍有公共点.