《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 如图，在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$、$F$、$G$、$H$ 分别是边 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 的中点，顺次连接点 $E$、$F$、$G$、$H$，得到的四边形 $EFGH$ 叫中点四边形。

(1) 求证：四边形 $EFGH$ 是平行四边形。
(2) 请探究并填空：
当四边形 $ABCD$ 变成矩形时，它的中点四边形是菱形；
当四边形 $ABCD$ 变成菱形时，它的中点四边形是矩形；
当四边形 $ABCD$ 变成正方形时，它的中点四边形是正方形。
(3) 根据以上探究，你是否发现中点四边形的形状和原四边形之间的关系？
信息提取
(1) $E$、$H$ 分别是 $AB$、$AD$ 的中点，$F$、$G$ 分别是 $BC$、$CD$ 的中点。
$EH$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线，即 $EH=\frac{1}{2}BD$，$EH // BD$
$FG$ 是 $\triangle CBD$ 的中位线，即 $FG=\frac{1}{2}BD$，$FG // BD$
(2) 当四边形 $ABCD$ 变成矩形；菱形；正方形时。
$AC=BD$
$AC \perp BD$
$AC=BD$ 且 $AC \perp BD$
思路精析
(1) 连接 $BD$，利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形。
(2) 连接 $AC$、$BD$。根据三角形的中位线定理，可以得到四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半。
若顺次连接对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形的四条边都相等，故所得四边形为菱形；
若顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，则所得的四边形的四个角都是直角，故所得四边形为矩形；
若顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，则综合上述两种情况，故所得的四边形为正方形。
(3) 由以上探究可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的。
超详解答
(1) 证明：如图，连接 $BD$。
$\because E$、$H$ 分别是 $AB$、$AD$ 的中点，
$\therefore EH$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线。

$\therefore EH=\frac{1}{2}BD$，$EH // BD$。
同理得 $FG=\frac{1}{2}BD$，$FG // BD$。
$\therefore EH=FG$，$EH // FG$。
$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 是平行四边形。
(2) 解：菱形，矩形，正方形。
(3) 解：中点四边形的形状是由原四边形的两条对角线的关系决定的。
顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形；
顺次连接对角线垂直的四边形各边中点，所得四边形是矩形；
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，所得四边形是正方形。

答案：

(1) 证明：如图，连接 $BD$。
$\because E$、$H$ 分别是 $AB$、$AD$ 的中点，
$\therefore EH$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线。

$\therefore EH=\frac{1}{2}BD$，$EH // BD$。
同理得 $FG=\frac{1}{2}BD$，$FG // BD$。
$\therefore EH=FG$，$EH // FG$。
$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 是平行四边形。
(2) 解：菱形，矩形，正方形。
(3) 解：中点四边形的形状是由原四边形的两条对角线的关系决定的。
顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形；
顺次连接对角线垂直的四边形各边中点，所得四边形是矩形；
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，所得四边形是正方形。