《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 （1）如图 1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$、$F$ 分别在边 $BC$、$CD$ 上，$AE$、$BF$ 交于点 $O$，$AE \perp BF$。求证：$AE = BF$。
（2）如图 2，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$、$H$、$F$、$G$ 分别在边 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 上，$EF$、$GH$ 交于点 $O$，$EF \perp GH$。求证：$EF = GH$。
（3）如图 3，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3AD$，点 $E$、$H$、$F$、$G$ 分别在矩形 $ABCD$ 的边 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 上，$EF$、$GH$ 交于点 $O$，$EF \perp GH$。问：$EF$ 与 $GH$ 之间的数量关系，请说明理由。

1 信息提取
利用条件 准确审题
（1）正方形 $ABCD$，$AE \perp BF$；（2）$EF \perp GH$；（3）矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3AD$。
$\angle EOB = 90°$
$\angle FOH = 90°$
2 思路精析
明确思路 快速解题
（1）根据 $\angle EOB = 90°$，利用同角的余角相等，得出 $\angle EAB = \angle FBC$，再根据 $ASA$ 即可证出 $\triangle ABE \cong \triangle BCF$，得到 $AE = BF$。（2）过点 $A$ 作 $AM // GH$ 交 $BC$ 于点 $M$，过点 $B$ 作 $BN // EF$ 交 $CD$ 于点 $N$，$AM$、$BN$ 交于点 $O'$，则四边形 $AMHG$ 和四边形 $BNFE$ 都是平行四边形，那么 $GH = AM$，$EF = BN$，由于 $\angle EOH = 90°$，结合平行线的性质，可知 $\angle MO'B = 90°$，那么此题就转化成（1），可知 $\triangle ABM \cong \triangle BCN$，得 $AM = BN$，即可证得 $EF = GH$。（3）由于 $AB = 3AD$，可将图 3 转化为三个图 2 的基本图形来解决。
3 超详解答
满分答案 规范答题
证明：（1）$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，
$\therefore AB = BC$，$\angle ABC = \angle BCD = 90°$。
$\therefore \angle EAB + \angle AEB = 90°$。
$\because AE \perp BF$，
$\therefore \angle EOB = 90°$。
$\therefore \angle FBC + \angle AEB = 90°$。
$\therefore \angle EAB = \angle FBC$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle BCF$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EAB = \angle FBC,\\AB = BC,\\\angle ABE = \angle BCF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle BCF(ASA)$。$\therefore AE = BF$。
（2）如图 1，过点 $A$ 作 $AM // GH$ 交 $BC$ 于点 $M$，过点 $B$ 作 $BN // EF$ 交 $CD$ 于点 $N$，$AM$ 与 $BN$ 交于点 $O'$，
则四边形 $AMHG$ 和四边形 $BNFE$ 均为平行四边形，
$\therefore GH = AM$，$EF = BN$。
$\because EF \perp GH$，$\therefore \angle FOH = 90°$。
又 $AM // GH$，$BN // EF$，
$\therefore \angle MO'B = 90°$。
由（1）可得，$\triangle ABM \cong \triangle BCN$，
$\therefore AM = BN$，$\therefore EF = GH$。
（3）$GH = 3EF$。理由如下：
根据 $AB = 3AD$，如图 2，把 $AB$ 三等分，得到三个正方形，
将（2）过程重复，即可得到 $GI = IJ = JH = EF$，
$\therefore GH = 3EF$。

答案：
证明：（1）$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，
$\therefore AB = BC$，$\angle ABC = \angle BCD = 90°$。
$\therefore \angle EAB + \angle AEB = 90°$。
$\because AE \perp BF$，
$\therefore \angle EOB = 90°$。
$\therefore \angle FBC + \angle AEB = 90°$。
$\therefore \angle EAB = \angle FBC$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle BCF$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EAB = \angle FBC,\\AB = BC,\\\angle ABE = \angle BCF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle BCF(ASA)$。$\therefore AE = BF$。
（2）如图 1，过点 $A$ 作 $AM // GH$ 交 $BC$ 于点 $M$，过点 $B$ 作 $BN // EF$ 交 $CD$ 于点 $N$，$AM$ 与 $BN$ 交于点 $O'$，
则四边形 $AMHG$ 和四边形 $BNFE$ 均为平行四边形，
$\therefore GH = AM$，$EF = BN$。
$\because EF \perp GH$，$\therefore \angle FOH = 90°$。
又 $AM // GH$，$BN // EF$，
$\therefore \angle MO'B = 90°$。
由（1）可得，$\triangle ABM \cong \triangle BCN$，
$\therefore AM = BN$，$\therefore EF = GH$。
（3）$GH = 3EF$。理由如下：
根据 $AB = 3AD$，如图 2，把 $AB$ 三等分，得到三个正方形，
将（2）过程重复，即可得到 $GI = IJ = JH = EF$，
$\therefore GH = 3EF$。