《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 如图，一个圆柱的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，求一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程。

1. 信息提取
如图，一个圆柱的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，求一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程。
在曲面上的最短距离可以转化为平面展开图上两点之间的距离问题
2. 思路精析
蚂蚁从点A到点C存在多种不同运动路径。路径1：如图1，沿圆柱过上底直径BC的中截面，从点A到点B，再沿上底直径从点B到点C；路径2：如图2，沿圆柱的侧面展开图的对角线，即沿矩形ABCD的对角线AC运动；路径3：如图2，沿着圆柱底面，先从点A运动到点D，再沿圆柱侧面从点D运动到点C.进一步比较这几种情况下路径的长度大小关系，最终确定最短路程。
3. 超详解答
解：路径1：如图1，沿着圆柱过BC的中截面，从点A到点B，再到点C.
因为底面周长为10cm，所以BC=π10​cm，总路程为12+π10​≈15.18(cm).
路径2：如图2，沿着圆柱侧面展开图，即矩形ABCD的对角线，从点A运动到点C.
因为圆柱的底面周长为10cm，
所以AD=10×21​=5(cm).
因为CD=AB=12cm，
所以$AC = \sqrt{CD^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 (cm)$。
路径3：如图2，先从点A到点D，再从点D到点C.
显然，在△ACD中，AD+CD＞AC，
所以路径3不是最短路径.
综上，蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是13cm.
学母题 找规律
解决空间内的问题，一般转化到平面内来解决.在求解这类运动路径最短问题时，应该考虑各种可能情况，然后比较，最终确定出最短路径.随着圆柱母线长和底面圆的半径的关系的变化，路径2不一定都是最短，感兴趣的同学不妨去探究一下.

答案：
解：
路径1：如图1，沿圆柱过上底直径$BC$的中截面，从点$A$到点$B$，再沿上底直径从点$B$到点$C$，
因为底面周长为$10 cm$，
所以$BC = \frac{10}{\pi} \approx 3.18 (cm)$，
总路程为$AB + BC = 12 + \frac{10}{\pi} \approx 15.18 (cm)$。
路径2：如图2，将圆柱侧面展开成矩形$ABCD$，从点$A$到点$C$沿对角线$AC$运动，
因为圆柱的底面周长为$10 cm$，
所以$AD = \frac{10}{2} = 5 (cm)$，
因为$CD = AB = 12 cm$，
所以$AC = \sqrt{CD^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 (cm)$。
路径3：如图2，先从点$A$到点$D$，再从点$D$到点$C$，
显然，在$\triangle ACD$中，$AD + CD ＞ AC$，
所以路径3不是最短路径。
综上，蚂蚁从点$A$出发沿着圆柱的表面爬行到点$C$的最短路程是$13 cm$。