《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD、DC、CE，已知∠DCB=30°.求证：①△BCE是等边三角形；②DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形.

答案： 1.【思路精析】
(1)根据定义和特殊四边形的性质，则有正方形或矩形或直角梯形；
(2)①由$\triangle ABC \cong \triangle DBE$，得出$BC = BE$，再由$\angle CBE = 60^{\circ}$，得出$\triangle BCE$为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步得出$\triangle DCE$是直角三角形，问题得解.
【超详解答】
(1)解：正方形、矩形、直角梯形.
(2)证明：①$\because \triangle ABC \cong \triangle DBE$，
$\therefore BC = BE$.
又$\angle CBE = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle BCE$是等边三角形.
②$\because \triangle ABC \cong \triangle DBE$，
$\therefore AC = DE$.
$\because \triangle BCE$为等边三角形，
$\therefore BC = CE$，$\angle BCE = 60^{\circ}$.
又$\angle DCB = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle DCE$中，$DC^{2} + CE^{2} = DE^{2}$，
$\therefore DC^{2} + BC^{2} = AC^{2}$.

2. 点M在四边形ABCD内，点M和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么定义该四边形ABCD为蝴蝶四边形.例如，如图1，在四边形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB，MC=MD，则四边形ABCD为蝴蝶四边形.
【概念理解】如图2，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M.判断正方形ABCD是蝴蝶四边形(填“是”或“不是”)；
【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°.AC等于BD(填“等于”或“不等于”)；
【拓展应用】在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB=√2，MC=MD=1，当△ACD是以CD为底的等腰三角形时，此时BD²的值是5.

答案：
2.【思路精析】【概念理解】证明$\triangle AMB$和$\triangle CMD$都是等腰直角三角形，正方形$ABCD$的对边$AB$、$CD$分别为斜边，即可得正方形$ABCD$为蝴蝶四边形；
【性质探究】证明$\triangle AMC \cong \triangle BMD(SAS)$，根据全等三角形的性质即可得$AC = BD$；
【拓展应用】此时$AC = AD$，从而进行求解即可.
【超详解答】解：【概念理解】$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore MA = MB = MC = MD$，$AC \perp BD$.
$\therefore \triangle AMB$和$\triangle CMD$都是等腰直角三角形，正方形$ABCD$的对边$AB$、$CD$分别为斜边.
$\therefore$正方形$ABCD$是蝴蝶四边形.
故答案为：是.
【性质探究】$\because$四边形$ABCD$是蝴蝶四边形，$\angle AMB = \angle CMD = 90^{\circ}$，
$\therefore \triangle AMB$和$\triangle CMD$都是等腰直角三角形.
$\therefore AM = BM$，$CM = DM$.
$\because \angle AMB + \angle CMB = \angle CMD + \angle CMB$，
$\therefore \angle AMC = \angle BMD$.
$\therefore \triangle AMC \cong \triangle BMD(SAS)$.
$\therefore AC = BD$.
故答案为：等于.
【拓展应用】如图，延长$AM$交$CD$于点$N$，

$\because \triangle ACD$是等腰三角形，
$\therefore AC = AD$.
$\because AM = AM$，$AC = AD$，$CM = DM$，
$\therefore \triangle AMC \cong \triangle AMD(SSS)$.
$\therefore \angle CAM = \angle DAM$，$MC = MD$.
$\therefore AN \perp CD$，$CN = DN$.
$\therefore MN = CN = DN = \frac{1}{2}CD = \frac{\sqrt{2}}{2}MC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore AN = MA + MN = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore AC = \sqrt{AN^{2} + CN^{2}} = \sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}} = \sqrt{5}$.
$\therefore BD^{2} = AC^{2} = (\sqrt{5})^{2} = 5$.
故答案为：5.