《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 已知一次函数 $ y_1 = ax + b $ 与 $ y_2 = bx + a $($ a $、$ b $ 为常数，且 $ ab \neq 0 $)，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是().

1 信息提取
$ a $ 和 $ b $ 都不为 $ 0 $，图象不经过坐标原点，但 $ a $ 和 $ b $ 的正负性需要分类讨论
已知一次函数 $ y_1 = ax + b $ 与 $ y_2 = bx + a $($ a $、$ b $ 为常数，且 $ ab \neq 0 $)，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是().
2 思路精析
本题可以用排除法，分别由两个函数的图象判别 $ a $、$ b $ 的正负性，如果相互矛盾，则排除；如果仅从 $ a $、$ b $ 的正负性还不能确定答案，那么需要结合函数图象的其他特征进一步排除，直至符合题意的答案只有一个为止.
3 超详解答
解：设每个选项中两条直线分别为 $ y_1 = ax + b $ 与 $ y_2 = bx + a $.

A 选项，由 $ y_1 $ 得 $ a ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $，由 $ y_2 $ 得 $ a ＞ 0 $，$ b ＜ 0 $，矛盾，舍；
B 选项，由 $ y_1 $ 得 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，由 $ y_2 $ 得 $ a ＞ 0 $，$ b ＜ 0 $，矛盾，舍；
C 选项，由 $ y_1 $ 得 $ a ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $，由 $ y_2 $ 得 $ a ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $，但由函数表达式可得当 $ x = 1 $ 时，$ y_1 = y_2 = a + b ＜ 0 $，即两直线的交点在第四象限，与图不符，舍；
D 选项，由 $ y_1 $ 得 $ a ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $，由 $ y_2 $ 得 $ a ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $，且由图得两直线的交点在第四象限，一致.
答案选 D.

答案：
D
 解：设每个选项中两条直线分别为 $ y_1 = ax + b $ 与 $ y_2 = bx + a $.

A 选项，由 $ y_1 $ 得 $ a ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $，由 $ y_2 $ 得 $ a ＞ 0 $，$ b ＜ 0 $，矛盾，舍；
B 选项，由 $ y_1 $ 得 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，由 $ y_2 $ 得 $ a ＞ 0 $，$ b ＜ 0 $，矛盾，舍；
C 选项，由 $ y_1 $ 得 $ a ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $，由 $ y_2 $ 得 $ a ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $，但由函数表达式可得当 $ x = 1 $ 时，$ y_1 = y_2 = a + b ＜ 0 $，即两直线的交点在第四象限，与图不符，舍；
D 选项，由 $ y_1 $ 得 $ a ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $，由 $ y_2 $ 得 $ a ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $，且由图得两直线的交点在第四象限，一致.
答案选 D.