《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α，若 DE = 10，BD = 3，求 CE 的长.

答案： 1.【思路精析】由$\angle AEC = \angle BAC = \alpha$，推出$\angle ACE = \angle BAD$，再根据AAS证明$\triangle BAD \cong \triangle ACE$，得$AD = CE$，$BD = AE = 3$，即可得出结果.
【超详解答】解：$\because \angle AEC = \angle BAC = \alpha$，
$\therefore \angle ACE + \angle CAE = 180^{\circ} - \alpha$，
$\angle BAD + \angle CAE = 180^{\circ} - \alpha$.
$\therefore \angle ACE = \angle BAD$.
在$\triangle BAD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases} \angle BDA = \angle AEC, \\ \angle BAD = \angle ACE, \\ AB = CA, \end{cases}$
$\therefore \triangle BAD \cong \triangle ACE(AAS)$.
$\therefore AD = CE$，$BD = AE$，可得$AE = 3$.
$\therefore AD = DE - AE = 10 - 3 = 7$.
$\therefore CE = AD = 7$.

2. 如图，已知两个等腰直角三角形 ABC 和 CDE，它们的直角顶点 B、D 在直线 MN 上，过点 A、E 分别作 AG ⊥ MN，EF ⊥ MN，垂足分别为 G、F. 请你探索线段 EF、BD、AG 之间的数量关系，为BD = EF + AG.

答案：
2.【思路精析】过点$C$作$CH \perp MN$于点$H$，只要证明$\triangle FDE \cong \triangle HCD(AAS)$，可得$EF = DH$.同理可证$\triangle BHC \cong \triangle AGB$，可得$BH = AG$，即可解决问题.
【超详解答】解：如图，过点$C$作$CH \perp MN$于点$H$.
　　　　　　　
$\because EF \perp MN$，$CH \perp MN$，$\triangle CDE$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle DFE = \angle EDC = \angle CHD = 90^{\circ}$，$DE = CD$.
$\therefore \angle EDF + \angle CDH = 90^{\circ}$，$\angle CDH + \angle DCH = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle EDF = \angle DCH$.
在$\triangle FDE$和$\triangle HCD$中，
$\begin{cases} \angle EDF = \angle DCH, \\ \angle DFE = \angle CHD, \\ DE = CD, \end{cases}$
$\therefore \triangle FDE \cong \triangle HCD(AAS)$.
$\therefore EF = DH$.
同理可证$\triangle BHC \cong \triangle AGB$，$\therefore BH = AG$.
$\therefore BD = DH + BH = EF + AG$.
故答案为：$BD = EF + AG$.

3. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 45°，∠ACB 为钝角，以 AC 为边在右侧作等腰直角三角形 ACD，∠ADC = 90°，过点 D 作 DE ⊥ BC，交 BC 的延长线于点 E，连接 BD，△BCD 的面积为 9，求 BC 的长.

答案：
3.【思路精析】构造“一线三等角”模型是解题的关键，过点$A$作$AF \perp ED$，交$ED$的延长线于点$F$，过点$A$作$AG \perp BE$于点$G$，证明$\triangle CDE \cong \triangle DAF(AAS)$，得到相等的线段，再根据$\triangle BCD$的面积，列出等式，求出$BC$的长.
【超详解答】解：如图，过点$A$作$AF \perp ED$交$ED$的延长线于点$F$，过点$A$作$AG \perp BE$于点$G$，
　　　　　　　　
$\because DE \perp BE$，$AF \perp ED$，$\triangle ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle E = \angle F = \angle ADC = 90^{\circ}$，$CD = DA$.
$\therefore \angle ADF + \angle DAF = 90^{\circ}$，$\angle ADF + \angle CDE = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle DAF = \angle CDE$.
在$\triangle CDE$和$\triangle DAF$中，
$\begin{cases} \angle E = \angle F, \\ \angle CDE = \angle DAF, \\ CD = DA, \end{cases}$
$\therefore \triangle CDE \cong \triangle DAF(AAS)$.
$\therefore CE = DF$，$DE = AF$.
设$CE = DF = a$，$DE = AF = b$，
$\because \triangle BCD$的面积为$9$，
$\therefore \frac{1}{2}BC · DE = 9$，即$BC = \frac{18}{b}$.
$\because DE \perp BE$，$AF \perp ED$，$AG \perp BE$，
$\therefore$四边形$AFEG$是矩形，
$\therefore AG = EF = DF + DE = a + b$，$EG = AF = b$.
$\therefore CG = CE - GE = a - b$.
$\therefore BG = BC + CG = \frac{18}{b} + a - b$.
$\because \angle ABC = 45^{\circ}$，$AG \perp BE$，
$\therefore AG = BG$.
$\therefore a + b = \frac{18}{b} + a - b$.
$\therefore b = 3$.
$\therefore BC = \frac{18}{b} = \frac{18}{3} = 6$.