《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 如果满足等式 $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $ 的 $ a $、$ b $、$ c $ 是三个正整数，我们称 $ a $、$ b $、$ c $ 为勾股数。已知 $ m $、$ n $ 是正整数，且 $ m＞n $，证明：$ 2mn $、$ m^{2}-n^{2} $、$ m^{2}+n^{2} $ 是勾股数。
1. 信息提取
要说明这三个数是正整数，且满足 $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $。
如果满足等式 $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $ 的 $ a $、$ b $、$ c $ 是三个正整数，我们称 $ a $、$ b $、$ c $ 为勾股数。已知 $ m $、$ n $ 是正整数，且 $ m＞n $，证明：$ 2mn $、$ m^{2}-n^{2} $、$ m^{2}+n^{2} $ 是勾股数。
2. 思路精析
首先判断这三个数中，哪个最大，然后证明两个较小数的平方和等于最大数的平方，最后说明这三个数都是正整数。
3. 超详解答
证明：$ \because m^{2}+n^{2}＞2mn $，$ m^{2}+n^{2}＞m^{2}-n^{2} $，
$ \therefore 2mn $、$ m^{2}-n^{2} $、$ m^{2}+n^{2} $ 三个数中，$ m^{2}+n^{2} $ 最大。
$ \because (2mn)^{2}=4m^{2}n^{2} $，$ (m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2} $，
$ \therefore (2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=4m^{2}n^{2}+m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}=m^{4}+n^{4}+2m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2} $。
$ \because m $、$ n $ 是正整数，且 $ m＞n $，
$ \therefore 2mn $、$ m^{2}-n^{2} $、$ m^{2}+n^{2} $ 都是正整数。
$ \therefore 2mn $、$ m^{2}-n^{2} $、$ m^{2}+n^{2} $ 是勾股数。
学母题 找规律
验证一组用字母表示的数是否为勾股数时，首先要验证其是否满足勾股方程，为提高效率，我们可以用观察法、作差法或者特殊值法先判断出最大的数，这样只需验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可。另外，还需要说明这一组数均为正整数。

答案： 证明：
∵ $ m $、$ n $ 是正整数且 $ m ＞ n $，
∴ $ 2mn $、$ m^2 - n^2 $、$ m^2 + n^2 $ 均为正整数。
∵ $ m^2 + n^2 ＞ 2mn $ 且 $ m^2 + n^2 ＞ m^2 - n^2 $，
∴ $ m^2 + n^2 $ 是三个数中最大的数。
计算得：
$ (2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2 = 4m^2n^2 + (m^4 - 2m^2n^2 + n^4) = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2 $，
即两个较小数的平方和等于最大数的平方。
∴ $ 2mn $、$ m^2 - n^2 $、$ m^2 + n^2 $ 是勾股数。

1. 已知 $ a=n^{2}-1 $，$ b=2n $，$ c=n^{2}+1 $，且 $ n $ 为整数（$ n\geqslant 2 $），求证：$ a $、$ b $、$ c $ 为勾股数。

答案： 1.【思路精析】先判断出$n^{2}+1$最大，然后分别求出$n^{2}-1$与$2n$的平方和，再分解因式发现正好等于$n^{2}+1$的平方。
【超详解答】解：$\because n^{2}+1＞n^{2}-1,n^{2}+1＞2n$，
$\therefore n^{2}+1$是三个数中的最大数。
$\because a^{2}=(n^{2}-1)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1,b^{2}=4n^{2}$，
$\therefore a^{2}+b^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=c^{2}$。
$\because n$为整数，$n \geqslant 2$，
$\therefore n^{2}-1$、$2n$、$n^{2}+1$都是正整数。
$\therefore a=n^{2}-1,b=2n,c=n^{2}+1(n \geqslant 2$，且$n$为整数）是勾股数。