《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 变式练 ★☆☆
如图，将含 $ 45^{\circ} $ 角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，其中 $ A(-3,0) $，$ B(0,2) $，则直线 $ BC $ 的函数表达式为y=-\frac{1}{5}x+2。

答案：
1.[思路精析]过点C作CD⊥x轴于点D,证明△ACD≌△BAO(AAS),得出CD=AO=3,AD=BO=2,则点C(−5,3),再用待定系数法求函数表达式.
[超详解答]解:如图，过点C作CD⊥x轴于点D.

∵∠CAB=90°,∠CDA=∠AOB=90°,
∴∠CAD=90°−∠BAO=∠ABO.
又
∵CA=AB,
∴△ACD≌△BAO(AAS).
∴CD=AO,AD=BO.
∵A(−3,0),B(0,2),
∴AO=CD=3,BO=AD=2.
∴DO=5.
∴C(−5,3).
设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，代入B(0,2),C(−5,3)，得
$\begin{cases}b=2,\\-5k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{5},\\b=2,\end{cases}$
∴$y=-\frac{1}{5}x+2.$
故答案为$:y=-\frac{1}{5}x+2.$

2. 延伸练 ★★☆
如图，直线 $ AB:y = -x - b $ 分别与 $ x $、$ y $ 轴交于 $ A $、$ B $ 两点，过点 $ B $ 的直线交 $ x $ 轴的负半轴于点 $ C $。若点 $ A(6,0) $，且 $ OB:OC = 3:1 $。
(1) 求直线 $ BC $ 的函数表达式；
(2) 若点 $ P(m,2) $ 在 $ \triangle ABC $ 的内部，求 $ m $ 的取值范围。

答案： 2.[思路精析]
(1)把点A代入函数表达式，求得b,确定直线AB的函数表达式，再求得点B的坐标，由线段比例关系，确定点C的坐标，利用待定系数法确定直线BC的函数表达式;
(2)把y=2分别代入两条直线的表达式，确定关键的点，再结合图象分析确定m的取值范围.
[超详解答]解:
(1)将点A(6,0)代入直线AB 的函数表达式,得0=−6−b，解得b=−6，
∴直线AB的函数表达式为y=−x+6.
∴点B的坐标为(0,6).
∵OB:OC=3:1,且点C在x轴的负半轴上，
∴OC=2,点C的坐标为(−2,0).
设直线BC的函数表达式为y=kx+6(k≠0)，代入点C(−2,0),得0=−2k+6,解得k=3.
∴直线BC的函数表达式为y=3x+6.
(2)把y=2代入y=−x+6,得x=4;
把y=2代入y=3x+6,得x=−$\frac{4}{3}$.
结合图象可知m的取值范围是−$\frac{4}{3}$＜m＜4.

3. 发散练 ★★★
如图，直线 $ AB:y = -x + 2 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $。直线 $ CD:y = kx + b $ 经过点 $ C(-1,0) $，$ D(0,\frac{1}{3}) $，并与直线 $ AB $ 交于点 $ E $。
(1) 求直线 $ CD $ 的函数表达式；
(2) 连接 $ BC $，求 $ \triangle BCE $ 的面积；
(3) 设点 $ Q $ 的坐标为 $ (m,2) $，求 $ m $ 的值使得 $ QA + QE $ 的值最小。

答案：
3.[思路精析]
(1)利用待定系数法求出直线CD 的函数表达式即可;
(2)△BCE的面积等于△ABC的面积减去△ACE的面积;
(3)作出点A关于直线y=2的对称点A',连接A'E,与直线y=2交于点Q,此时QA+QE的值最小,利用待定系数法求出直线A'E的函数表达式，把点Q的坐标代入求出m的值即可.
[超详解答]解:
(1)设直线CD的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，把C(−1,0),D(0,$\frac{1}{3}$)代入，得
\begin{cases}-k+b=0,\\b=\frac{1}{3},\end{cases}解得\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=\frac{1}{3},\end{cases}
则直线CD的函数表达式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$.
(2)对于直线y=−x+2,
令x=0,得y=2;令y=0,得x=2,
∴A(2,0),B(0,2).
∴OB=OA=2.
∴AC=OA+OC=2+1=3.
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3.
由直线AB与直线CD交于点E，
则\begin{cases}y=-x+2,\\y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3},\end{cases}解得\begin{cases}x=\frac{5}{4},\\y=\frac{3}{4},\end{cases}
∴E($\frac{5}{4}$,$\frac{3}{4}$),
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{8}$,
∴S_△BCE=S_△ABC−S_△ACE=3−$\frac{9}{8}$=$\frac{15}{8}$.
(3)如图,作点A关于直线y=2的对称点A',连接A'E,与y=2交于点Q,此时QA+QE的值最小.

由对称可得点A'(2,4)，
设直线A'E的函数表达式为y=px+q(p≠0)，把A'(2,4),E($\frac{5}{4}$,$\frac{3}{4}$)代入，得
\begin{cases}2p+q=4,\frac{5}{4}p+q=\frac{3}{4},\end{cases}解得\begin{cases}p=\frac{13}{3},\\q=-\frac{14}{3},\end{cases}
即直线A'E的函数表达式为y=$\frac{13}{3}$x−$\frac{14}{3}$，把(m,2)代入，得2=$\frac{13}{3}$m−$\frac{14}{3}$，解得m=$\frac{20}{13}$.