《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 数形结合是非常重要的数学思想方法，请你利用数形结合思考并判断。如图，在平面直角坐标系中，若直线 $ y_1 = -x + a $($ a $ 为常数)与直线 $ y_2 = bx - 4 $($ b $ 为常数，且 $ b \neq 0 $)相交于点 $ P $，则下列结论错误的是(C)。

A. 方程 $ -x + a = bx - 4 $ 的解是 $ x = 1 $
B. 不等式 $ -x + a ＜ -3 $ 与不等式 $ bx - 4 ＞ -3 $ 的解集相同
C. 不等式组 $ bx - 4 ＜ -x + a ＜ 0 $ 的解集是 $ -2 ＜ x ＜ 4 $
D. 方程组 $ \begin{cases} y + x = a, \\ y - bx = -4 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = -3 \end{cases} $
1 信息提取
如图，在平面直角坐标系中，若直线 $ y_1 = -x + a $($ a $ 为常数)与直线 $ y_2 = bx - 4 $($ b $ 为常数，且 $ b \neq 0 $)相交于点 $ P $。
2 思路精析
紧扣图象，找准交点，根据一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与二元一次方程组的关系以及一次函数与一元一次不等式的关系判断即可。
3 超详解答
解：$ \because $ 两直线交于点 $ P(1, -3) $，
$ \therefore $ 方程组 $ \begin{cases} y + x = a, \\ y - bx = -4 \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} y = -x + a, \\ y = bx - 4 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = -3 \end{cases} $。
$ \therefore $ 方程 $ -x + a = bx - 4 $ 的解是 $ x = 1 $，故 A、D 正确。
$ \because $ 由图象可知，当 $ y_1 ＜ -3 $ 时，$ x ＞ 1 $，即不等式 $ -x + a ＜ -3 $ 的解集是 $ x ＞ 1 $；由图象可知，当 $ y_2 ＞ -3 $ 时，$ x ＞ 1 $，即不等式 $ bx - 4 ＞ -3 $ 的解集是 $ x ＞ 1 $，
$ \therefore $ 二者解集相同，故 B 正确。
$ \because $ 不等式组 $ bx - 4 ＜ -x + a ＜ 0 $ 的解集即为 $ y_2 ＜ y_1 ＜ 0 $ 时 $ x $ 的取值范围，
$ \therefore $ 不等式组 $ bx - 4 ＜ -x + a ＜ 0 $ 的解集是 $ a ＜ x ＜ 1 $，故 C 错误。
综上，结论错误的是 C。

答案： 例：C