《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 如图，在正方形 $ABCD$ 中，以 $A$ 为顶点的 $\angle EAF = 45^{\circ}$，$AE$、$AF$ 与 $BC$、$CD$ 分别交于 $E$、$F$ 两点.
求证：$EF = DF + BE$.
1. 信息提取
$AB = AD$，$\angle BAD = \angle B = \angle D = 90^{\circ}$ $\angle BAE + \angle DAF = 45^{\circ}$
在正方形 $ABCD$ 中，以 $A$ 为顶点的 $\angle EAF = 45^{\circ}$，$AE$、$AF$ 与 $BC$、$CD$ 分别交于 $E$、$F$ 两点.
求证：$EF = DF + BE$. 边的关系：和差关系
2. 思路精析
要证明线段的和差关系，可转化成证明两个三角形全等，得到线段相等→已知条件中已有 $\angle D = \angle B = 90^{\circ}$，$AB = AD$ 两个条件→需要再寻找一个条件→延长 $CB$ 到点 $H$，使 $BH = DF$，连接 $AH$→证得 $\triangle ADF \cong \triangle ABH$，$\triangle AHE \cong \triangle AFE$. 从而得到 $EF$、$DF$、$BE$ 之间的数量关系.
3. 超详解答

证明：延长 $CB$ 到点 $H$，使 $BH = DF$，连接 $AH$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$\therefore AB = AD$，$\angle ABC = \angle D = \angle BAD = 90^{\circ}$.
$\because \angle ABC + \angle ABH = 180^{\circ}$，$\therefore \angle ABH = 90^{\circ}$.
在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle ABH$ 中，$\begin{cases} DF = BH, \\ \angle ADF = \angle ABH, \\ AD = AB, \end{cases}$
$\therefore \triangle ADF \cong \triangle ABH(SAS)$.
$\therefore AF = AH$，$DF = BH$，$\angle DAF = \angle BAH$.
$\because \angle EAF = 45^{\circ}$，$\therefore \angle BAE + \angle DAF = 45^{\circ}$.
$\therefore \angle BAE + \angle BAH = \angle EAH = 45^{\circ}$.
在 $\triangle AHE$ 和 $\triangle AFE$ 中，$\begin{cases} AH = AF, \\ \angle EAH = \angle EAF, \\ AE = AE, \end{cases}$
$\therefore \triangle AHE \cong \triangle AFE(SAS)$. $\therefore EH = EF$.
$\therefore EF = EH = BH + BE = DF + BE$.
学母题 找规律
当已知条件中出现夹角等于大角的一半，且有一组边相等时，可以通过构造三角形全等，从而得到另外一组三角形全等，我们常把有这样特征的图形称为“夹半角”模型.

答案： 证明：延长 $CB$ 到点 $H$，使 $BH = DF$，连接 $AH$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$\therefore AB = AD$，$\angle ABC = \angle D = \angle BAD = 90^{\circ}$.
$\because \angle ABC + \angle ABH = 180^{\circ}$，$\therefore \angle ABH = 90^{\circ}$.
在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle ABH$ 中，$\begin{cases} DF = BH, \\ \angle ADF = \angle ABH, \\ AD = AB, \end{cases}$
$\therefore \triangle ADF \cong \triangle ABH(SAS)$.
$\therefore AF = AH$，$DF = BH$，$\angle DAF = \angle BAH$.
$\because \angle EAF = 45^{\circ}$，$\therefore \angle BAE + \angle DAF = 45^{\circ}$.
$\therefore \angle BAE + \angle BAH = \angle EAH = 45^{\circ}$.
在 $\triangle AHE$ 和 $\triangle AFE$ 中，$\begin{cases} AH = AF, \\ \angle EAH = \angle EAF, \\ AE = AE, \end{cases}$
$\therefore \triangle AHE \cong \triangle AFE(SAS)$. $\therefore EH = EF$.
$\therefore EF = EH = BH + BE = DF + BE$.