《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 变式练
如图,在四边形 $ABCD$ 中, $AB = 3$, $CD = 7$, $E$、$F$ 分别是 $AD$、$BC$ 的中点,若 $EF$ 的长恰为整数,则 $EF$ 的长可以是(C).

A.$2$、$3$、$4$
B.$3$、$4$
C.$3$、$4$、$5$
D.$2$、$3$、$4$、$5$

答案：
1.[思路精析]连接$AF$并延长至点$G$，使得$AF=FG$，连接$CG$、$DG$，证明$\triangle BAF \cong \triangle CGF(SAS)$，根据三角形三边关系，可得$DG$的取值范围，根据中位线的性质即可求解。
[超详解答]解:如图，连接$AF$并延长至点$G$，使得$AF = FG$，连接$CG$、$DG$，

$\because F$是$BC$的中点，$\therefore BF = CF$。
在$\triangle BAF$和$\triangle CGF$中，
$\begin{cases}AF = GF \\\angle AFB = \angle GFC \\BF = CF\end{cases}$
$\therefore \triangle BAF \cong \triangle CGF(SAS)$。
$\therefore AB = GC$。
$\because AB = GC = 3$，$CD = 7$，
$\therefore 7 - 3 ＜ DG ＜ 7 + 3$。
当$\angle ABC = \angle DCB = 90^{\circ}$时，$G$、$D$、$C$三点共线，
$\therefore 4 ＜ DG \leq 10$。
$\because E$、$F$分别是$AD$、$AG$的中点，
$\therefore EF = \frac{1}{2}DG$。
$\therefore 2 ＜ EF \leq 5$，即$EF$的长可以为$3$、$4$、$5$。
故选$C$。