《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 已知：在等腰三角形 $ ABC $ 中.
(1) 若 $ \angle A = 120^{\circ} $，求 $ \angle B $ 的度数；
(2) 若 $ \angle A = 80^{\circ} $，求 $ \angle B $ 的度数；
(3) 请探究当 $ \angle A $ 的度数取哪些值时，$ \angle B $ 的度数是唯一的？
1 信息提取 利用条件 准确审题
(1) 若 $ \angle A = 120^{\circ} $； $ \angle A $ 只能为顶角
(2) 若 $ \angle A = 80^{\circ} $； $ \angle A $ 可能为顶角，也可能为一个底角
(3) 请探究当 $ \angle A $ 的度数取哪些值时，$ \angle B $ 的度数是唯一的？ 唯一是有且仅有一个
2 思路精析 明确思路 快速解题
(1) 由条件可判断 $ \angle A $ 为顶角，再利用三角形内角和定理求得 $ \angle B $ 的度数；
(2) 分 $ \angle A $ 为顶角和底角两种情况进行讨论即可；
(3) 分 $ \angle A $ 为顶角和底角的两种情况下 $ \angle B $ 的度数是相等的.
3 超详解答 满分答案 规范答题
解：(1) $ \because \angle A = 120^{\circ} $，$ \therefore \angle A $ 只能为 $ \triangle ABC $ 的顶角.
$ \because \triangle ABC $ 为等腰三角形，$ \therefore \angle B = \angle C = \dfrac{1}{2} × (180^{\circ} - 120^{\circ}) = 30^{\circ} $.
(2) 当 $ \angle A $ 为顶角时，则 $ \angle B $ 为底角，$ \angle B = \angle C = \dfrac{1}{2} × (180^{\circ} - 80^{\circ}) = 50^{\circ} $；
当 $ \angle A $ 为底角，$ \angle B $ 为顶角时，$ \angle B = 180^{\circ} - 2 \angle A = 180^{\circ} - 2 × 80^{\circ} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} $；
当 $ \angle A $、$ \angle B $ 为底角时，$ \angle B = \angle A = 80^{\circ} $.
综上所述，$ \angle B = 20^{\circ} $ 或 $ 50^{\circ} $ 或 $ 80^{\circ} $.
(3) 显然当 $ 90^{\circ} \leqslant \angle A ＜ 180^{\circ} $ 时，$ \angle A $ 只能是顶角，$ \angle B = \dfrac{180^{\circ} - \angle A}{2} $，度数唯一；
当 $ \angle A $ 是锐角时，若 $ \angle A $ 为顶角时，则 $ \angle B = \angle C = \dfrac{180^{\circ} - \angle A}{2} $；
若 $ \angle A $ 为底角，$ \angle B $ 为顶角时，则 $ \angle B = 180^{\circ} - 2 \angle A $；
若 $ \angle A $、$ \angle B $ 为底角时，则 $ \angle B = \angle A $.
因为 $ \angle B $ 是唯一的，所以 $ \dfrac{180^{\circ} - \angle A}{2} = 180^{\circ} - 2 \angle A = \angle A $，即 $ \angle A = 60^{\circ} $，
综上所述，当 $ 90^{\circ} \leqslant \angle A ＜ 180^{\circ} $ 或 $ \angle A = 60^{\circ} $ 时，$ \angle B $ 的度数是唯一的.
学母题 找规律
已知一个三角形是等腰三角形，如果没有给出相等的两条边或者相等的两个角，一般都要分类讨论.而当等腰三角形中出现特殊角如钝角、直角或者 $ 60^{\circ} $ 角时，三角形的形状就确定了.
第10讲 等腰三角形分类讨论

答案： 1 信息提取 利用条件 准确审题
(1) 若 $ \angle A = 120^{\circ} $； $ \angle A $ 只能为顶角
(2) 若 $ \angle A = 80^{\circ} $； $ \angle A $ 可能为顶角，也可能为一个底角
(3) 请探究当 $ \angle A $ 的度数取哪些值时，$ \angle B $ 的度数是唯一的？ 唯一是有且仅有一个
2 思路精析 明确思路 快速解题
(1) 由条件可判断 $ \angle A $ 为顶角，再利用三角形内角和定理求得 $ \angle B $ 的度数；
(2) 分 $ \angle A $ 为顶角和底角两种情况进行讨论即可；
(3) 分 $ \angle A $ 为顶角和底角的两种情况下 $ \angle B $ 的度数是相等的.
3 超详解答 满分答案 规范答题
解：
(1) $ \because \angle A = 120^{\circ} $，$ \therefore \angle A $ 只能为 $ \triangle ABC $ 的顶角.
$ \because \triangle ABC $ 为等腰三角形，$ \therefore \angle B = \angle C = \dfrac{1}{2} × (180^{\circ} - 120^{\circ}) = 30^{\circ} $.
(2) 当 $ \angle A $ 为顶角时，则 $ \angle B $ 为底角，$ \angle B = \angle C = \dfrac{1}{2} × (180^{\circ} - 80^{\circ}) = 50^{\circ} $；
当 $ \angle A $ 为底角，$ \angle B $ 为顶角时，$ \angle B = 180^{\circ} - 2 \angle A = 180^{\circ} - 2 × 80^{\circ} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} $；
当 $ \angle A $、$ \angle B $ 为底角时，$ \angle B = \angle A = 80^{\circ} $.
综上所述，$ \angle B = 20^{\circ} $ 或 $ 50^{\circ} $ 或 $ 80^{\circ} $.
(3) 显然当 $ 90^{\circ} \leqslant \angle A ＜ 180^{\circ} $ 时，$ \angle A $ 只能是顶角，$ \angle B = \dfrac{180^{\circ} - \angle A}{2} $，度数唯一；
当 $ \angle A $ 是锐角时，若 $ \angle A $ 为顶角时，则 $ \angle B = \angle C = \dfrac{180^{\circ} - \angle A}{2} $；
若 $ \angle A $ 为底角，$ \angle B $ 为顶角时，则 $ \angle B = 180^{\circ} - 2 \angle A $；
若 $ \angle A $、$ \angle B $ 为底角时，则 $ \angle B = \angle A $.
因为 $ \angle B $ 是唯一的，所以 $ \dfrac{180^{\circ} - \angle A}{2} = 180^{\circ} - 2 \angle A = \angle A $，即 $ \angle A = 60^{\circ} $，
综上所述，当 $ 90^{\circ} \leqslant \angle A ＜ 180^{\circ} $ 或 $ \angle A = 60^{\circ} $ 时，$ \angle B $ 的度数是唯一的.

1. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AD \perp BC $，垂足为 $ D $，$ AB + BD = AC + CD $，证明：$ AB = AC $.

答案：
1.[思路精析]延长DB至点H,使BH=AB，延长DC至点G,使CG=AC,连接AH、AG.根据等腰三角形的性质得到△AHG是等腰三角形，求得∠H=∠G.因为∠ABC=2∠H,∠ACB=2∠G,所以∠ABC=∠ACB,根据等腰三角形的判定定理得到结论.
[超详解答]证明:如图，延长DB至点H，使BH=AB，延长DC至点G,使CG=AC，连接AH、AG.

∵AB + BD = AC + CD，
∴DH = DG.
∵AD ⊥ BC，
∴△AHG是等腰三角形.
∴∠H = ∠G.
∵AB = BH，
∴∠ABC = 2∠H.
同理∠ACB = 2∠G.
∴∠ABC = ∠ACB.
∴AB = AC.

2. 如图，已知在 $ \triangle ABC $ 中，$ BA = AC = 2\sqrt{3} $ 且 $ \angle BAC = 120^{\circ} $，点 $ D $ 在直线 $ BC $ 上运动，画出点 $ D $ 在运动中使得 $ \triangle ABD $ 为等腰三角形的所有的位置，并求相应的 $ AD $ 的长.

答案：
2.[思路精析]根据等腰三角形的性质作出图形，过点A作AH⊥BC于点H,构造含30°角的直角三角形,从而求得AH、BH的长.
①在△ABD₁中$,AB = BD₁ = 2\sqrt{3}，$$D₁H = 2\sqrt{3} + 3，$利用勾股定理求得$AD₁ = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}；$
②在△ABD₂中，AD₂ = BD₂，利用方程和勾股定理求得AD₂ = 2；
③在△ABD₃中$,AB = BD₃ = 2\sqrt{3}，$$HD₃ = 2\sqrt{3} - 3，$利用勾股定理求得$AD₃ = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}；$
④当点D₄与点C重合$,AB = AC = AD₄ = 2\sqrt{3}.$
[超详解答]解:共有4个点满足条件.
如图，过点A作AH⊥BC于点H，

∵$AB = AC = 2\sqrt{3}，$∠BAC = 120°，
∴∠ABH = 30°.
∴$AH = \sqrt{3}，$BH = 3.
①如图中的点D₁，在△ABD₁中，$AB = BD₁ = 2\sqrt{3}.$
∴$D₁H = BD₁ + BH = 2\sqrt{3} + 3.$
在Rt△AD₁H中，$AD₁² = D₁H² + AH² = (2\sqrt{3} + 3)² + 3 = 24 + 12\sqrt{3} = (3\sqrt{2} + \sqrt{6})².$
∴$AD₁ = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}.$
②如图中的点D₂，在△ABD₂中，AD₂ = BD₂，设AD₂ = x，D₂H = BH - BD₂ = 3 - x，
在Rt△AD₂H中，AD₂² = AH² + D₂H²，
x² = 3 + (3 - x)²，解得x = 2.
∴AD₂ = 2.
③如图中的点D₃，在△ABD₃中，$AB = BD₃ = 2\sqrt{3}，$
∴$HD₃ = 2\sqrt{3} - 3.$
在Rt△AD₃H中，$AD₃² = AH² + HD₃² = 3 + (2\sqrt{3} - 3)² = 24 - 12\sqrt{3} = (3\sqrt{2} - \sqrt{6})²，$
∴$AD₃ = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}.$
④如图中的点D₄，点D₄与点C重合，$AB = AC = AD₄ = 2\sqrt{3}.$
综上，AD的长为$3\sqrt{2} + \sqrt{6}$或2或$3\sqrt{2} - \sqrt{6}$或$2\sqrt{3}.$

3. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 90^{\circ} $，$ AB = 16 cm $，$ BC = 12 cm $，$ AC = 20 cm $，$ P $、$ Q $ 是 $ \triangle ABC $ 边上的两个动点，其中点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿 $ A \to B $ 方向运动，且速度为 $ 1 cm/s $，点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿 $ B \to C \to A $ 方向运动，且速度为 $ 2 cm/s $，它们同时出发，设出发的时间为 $ t $ 秒.
(1) $ BP = $(16 - t)cm(用含 $ t $ 的代数式表示)；
(2) 当点 $ Q $ 在边 $ BC $ 上运动时，出发$\frac{16}{3}$秒后，$ \triangle PQB $ 是等腰三角形；
(3) 当点 $ Q $ 在边 $ CA $ 上运动时，出发几秒后，$ \triangle BCQ $ 是等腰三角形？

答案：
3.[思路精析]
(1)根据题意即可用t表示出BP；
(2)结合
(1)，根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得BP = BQ，得到关于t的方程，求得t的值；
(3)利用等腰三角形的性质可分CQ = BQ，CQ = BC和BQ = BC三种情况，分别求得t的值.
[超详解答]解:
(1)由题意可知AP = t cm，BQ = 2t cm，
∵AB = 16 cm，
∴BP = AB - AP = (16 - t)cm.
故答案为:(16 - t)cm.
(2)当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP = BQ，
即16 - t = 2t，解得$t = \frac{16}{3}.$
故答案为$:\frac{16}{3}.$
(3)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，则CQ = BQ，如图1所示，
则∠C = ∠CBQ，
∵∠ABC = 90°，
∴∠CBQ + ∠ABQ = 90°，∠A + ∠C = 90°.
∴∠A = ∠ABQ.
∴BQ = AQ.
∴CQ = AQ = 20 ÷ 2 = 10(cm).
∴BC + CQ = 12 + 10 = 22(cm).
∴t = 22 ÷ 2 = 11.

②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时，
CQ = BC，如图2所示，
则BC + CQ = 12 × 2 = 24(cm)，
∴t = 24 ÷ 2 = 12.

③当△BCQ是以CQ为底边的等腰三角形时，
BQ = BC，如图3所示，过点B作BD ⊥ CQ于点D，

∵$\frac{1}{2}AB·BC = \frac{1}{2}AC·BD，$
∴$\frac{1}{2}×16×12 = \frac{1}{2}×20×BD.$
∴$BD = \frac{48}{5}(cm).$
∴$CD = \sqrt{BC^{2} - BD^{2}} = \frac{36}{5}(cm).$
∴$CQ = 2CD = \frac{72}{5}(cm)，$
∴$BC + CQ = 12 + \frac{72}{5} = \frac{132}{5}(cm).$
∴$t = \frac{132}{5} ÷ 2 = \frac{66}{5}.$
综上所述，当t为11或12或$\frac{66}{5}$时，△BCQ是等腰三角形.