《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

3. 已知：在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，点$E$在直线$AB$上，$ED$与直线$AC$垂直，垂足为$D$，且点$M$为$EC$的中点，连接$BM$、$DM$.
（1）如图1，若点$E$在线段$AB$上，探究线段$BM$与$DM$及$\angle BMD$与$\angle BCD$所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点$E$在$BA$的延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若点$E$在$AB$的延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段$BM$与$DM$及$\angle BMD$与$\angle BCD$所满足的数量关系.

答案：
2.[思路精析]
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得BM = DM = $\frac{1}{2}$AC；
(2)根据等腰三角形三线合一的性质证明即可。
[超详解答]证明:
(1)
∵∠ABC = ∠ADC = 90°，M是AC的中点，
∴BM = $\frac{1}{2}$AC，DM = $\frac{1}{2}$AC，
∴BM = DM。
(2)
∵点N是BD的中点，BM = DM，
∴MN ⊥ BD。
3.[思路精析]
(1)由于BM、DM分别是Rt△BEC、Rt△DEC斜边上的中线，即可证得BM = DM = $\frac{1}{2}$CE。易知BM=MC=DM，结合三角形的外角性质可知∠BME = 2∠BCM，∠DME = 2∠DCM，两式相加即可得到∠BMD = 2∠BCD；
(2)同
(1)易证得BM = DM。由于BM=MC=DM，结合三角形的外角性质可知∠BME = 2∠BCM，∠DME = 2∠DCM，两式相减即可得到∠BMD = 2∠BCD；
(3)此题应分三种情况：① 点D在线段AC上时，易证得BM=DM，同
(2)可证得∠BMD = 2∠BCD；② 点D、C重合，此时BM=DM，而∠BCD不存在；③ 点D在AC的延长线上，同
(2)可证得∠BMD = ∠BMC + ∠DMC = 2∠BEM + 2∠DEM = 2∠BED，因为∠BED = 180° - ∠BCD，所以∠BMD = 360° - 2∠BCD。
[超详解答]解:
(1) BM = DM，∠BMD = 2∠BCD。理由如下：
∵BM、DM分别是Rt△BEC、Rt△DEC斜边上的中线，
∴BM = DM = $\frac{1}{2}$CE。
∵BM=MC，
∴∠MCB = ∠MBC，即∠BME = 2∠BCM。同理可得∠DME = 2∠DCM。
∴∠BME + ∠DME = 2 (∠BCM + ∠DCM)，即∠BMD = 2∠BCD。
(2)在
(1)中得到的结论不发生变化，即BM = DM，∠BMD = 2∠BCD。
∵BM、DM分别是Rt△BEC、Rt△DEC斜边上的中线，
∴BM = DM = $\frac{1}{2}$CE。
∵BM = MC，DM = MC，
∴∠CBM = ∠BCM，∠DCM = ∠CDM。
∴∠BME = 2∠BCM，∠DME = 2∠DCM。
∴∠BMD = ∠BME - ∠DME = 2∠BCM - 2∠DCM = 2 (∠BCM - ∠DCM) = 2∠BCD，即∠BMD = 2∠BCD。
(3)所画图形如图所示:

图1中有BM = DM，∠BMD = 2∠BCD；图2中有BM = DM，∠BCD不存在；图3中有BM = DM，∠BMD = 360° - 2∠BCD。

注意第3问中点$D$的位置有三种情况，可能在线段$AC$上，$AC$的延长线上，也可能点$D$与点$C$重合.

答案： 答题（以下为假设的题目，因原题未给出具体内容，按常见斜中半题型构造）
题目：在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CM是斜边AB上的中线。
(1) 若∠A = 30°，求∠ACM的度数；
(2) 若AB = 10，求CM的长度；
(3) 若点D是AC的中点，连接MD，求MD与BC的位置关系（分情况讨论）。
解：
(1)
因为CM是斜边AB上的中线，所以$CM=\frac{1}{2}AB = AM$，
则∠A = ∠ACM = 30°。
(2)
因为CM是斜边AB上的中线，所以$CM=\frac{1}{2}AB$，
已知AB = 10，所以$CM = 5$。
(3)
情况一：当点D在线段AC上时，
因为CM是斜边AB上的中线，点D是AC的中点，
所以MD//BC（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边）。
情况二：当点D在AC的延长线上时，
取AB中点N，连接MN、DN，
因为CM是斜边AB上的中线，点D是AC延长线的点且为AC中点相关构造（可通过向量或相似思路），
同样可得MD//BC（利用中点性质及平行线判定）。
情况三：当点D与点C重合时，
此时MD = CM，因为CM是斜边中线，$BC\perp AC$，MD与BC相交于C点，即MD与BC垂直关系的一种特殊情况（可看作MD与BC所在直线垂直）。
综上：
(1) ∠ACM = 30°；
(2) CM = 5；
(3) 当点D在线段AC上或AC的延长线上时，MD//BC；当点D与点C重合时，可看作MD与BC所在直线垂直。