《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. （1）已知 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 3$，求 $x^y$ 的立方根；
（2）已知 $\sqrt{a - 1} + 2|b - 2| + 3c^2 - 18c + 27 = 0$，求 $3a + 2b + c$ 的平方根。

答案： 1. （1）$\frac{1}{2}$；（2）$\pm \sqrt{10}$
（1）由题意得：$x - 2 \geq 0$且$2 - x \geq 0$，解得$x = 2$。将$x = 2$代入$y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 3$，得$y = - 3$。$x^y = 2^{-3} = \frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$的立方根是$\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$。
（2）$\sqrt{a - 1} + 2|b - 2| + 3c^2 - 18c + 27 = 0$可化为$\sqrt{a - 1} + 2|b - 2| + 3(c - 3)^2 = 0$。因为$\sqrt{a - 1} \geq 0$，$2|b - 2| \geq 0$，$3(c - 3)^2 \geq 0$，所以$a - 1 = 0$，$b - 2 = 0$，$c - 3 = 0$，解得$a = 1$，$b = 2$，$c = 3$。$3a + 2b + c = 3×1 + 2×2 + 3 = 10$，$10$的平方根是$\pm \sqrt{10}$。

2. 已知 $2a - 1$ 的平方根是 $\pm 3$，$3a + b - 1$ 的算术平方根是 $4$，$c$ 是 $\sqrt{15}$ 的整数部分，$d$ 的立方根是 $\sqrt[3]{3}$，$x$、$y$ 都是实数，且满足 $y = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 13$，求 $\sqrt{ab + cd + y + x + 1}$ 的平方根。

答案： 2. $\pm \sqrt{6}$。
因为$2a - 1$的平方根是$\pm 3$，所以$2a - 1 = (\pm 3)^2 = 9$，解得$a = 5$。
因为$3a + b - 1$的算术平方根是$4$，所以$3a + b - 1 = 4^2 = 16$，将$a = 5$代入得$3×5 + b - 1 = 16$，解得$b = 2$。
因为$9 ＜ 15 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{15} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4$，所以$c = 3$。
因为$d$的立方根是$\sqrt[3]{3}$，所以$d = 3$。
因为$y = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 13$，所以$3 - x \geq 0$且$x - 3 \geq 0$，解得$x = 3$，则$y = 13$。
$ab + cd + y + x + 1 = 5×2 + 3×3 + 13 + 3 + 1 = 10 + 9 + 13 + 3 + 1 = 36$，$\sqrt{36} = 6$，$6$的平方根是$\pm \sqrt{6}$。
$\pm \sqrt{6}$

3. 已知 $x$ 是 $1$ 的平方根，求代数式 $(x^{2017} - 1)(x^{2018} - 712)(x^{2019} + 1)(x^{2020} + 712) + 1000x$ 的立方根。

答案： 3. $\pm 10$。
因为$x$是$1$的平方根，所以$x = \pm 1$。
当$x = 1$时：
$\begin{aligned}&(1^{2017} - 1)(1^{2018} - 712)(1^{2019} + 1)(1^{2020} + 712) + 1000×1\\=&(1 - 1)(1 - 712)(1 + 1)(1 + 712) + 1000\\=&0×(-711)×2×713 + 1000\\=&0 + 1000\\=&1000\end{aligned}$
$1000$的立方根是$\sqrt[3]{1000} = 10$。
当$x = -1$时：
$\begin{aligned}&((-1)^{2017} - 1)((-1)^{2018} - 712)((-1)^{2019} + 1)((-1)^{2020} + 712) + 1000×(-1)\\=&(-1 - 1)(1 - 712)(-1 + 1)(1 + 712) - 1000\\=&(-2)×(-711)×0×713 - 1000\\=&0 - 1000\\=&-1000\end{aligned}$
$-1000$的立方根是$\sqrt[3]{-1000} = -10$。
综上，代数式的立方根是$\pm 10$。

4. 类比平方根(二次方根)、立方根(三次方根)的定义可给出四次方根、五次方根的定义：① 如果 $x^4 = a(a \geq 0)$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的四次方根；② 如果 $x^5 = a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的五次方根。
(1)$81$ 的四次方根为\pm 3，$-32$ 的五次方根为-2；
(2)若 $\sqrt[4]{a - 1}$ 有意义，则 $a$ 的取值范围为a \geq 1；若 $\sqrt[5]{a}$ 有意义，则 $a$ 的取值范围为a 为任意实数；
(3)解方程：① $x^4 = 16$；② $100000x^5 = 243$。

答案： 4.
(1)$\pm 3$，$-2$；
(2)$a \geq 1$，$a$为任意实数；
(3)①$x = \pm 2$；②$x = \frac{3}{10}$