《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

3. 新定义：若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形.如图，在对直四边形ABCD中，已知∠ABC=90°，O为AC的中点.
(1)求证：BD的垂直平分线经过点O；
(2)若AB=6，BC=8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度.

答案：
3.【思路精析】
(1)由直角三角形的性质可得$BO = DO$，从而可得结论；
(2)作$DE \perp BD$，交$BA$的延长线于点$E$，由“$ASA$”可证$\triangle DAE \cong \triangle DCB$，得$DE = DB$，$AE = CB = 8$，求出$BE$的长，再由等腰直角三角形的性质求出$BD$的长.
【超详解答】
(1)证明：如图1，连接$BO$、$DO$，

在对直四边形$ABCD$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$.
又$O$为$AC$的中点，
$\therefore BO = \frac{1}{2}AC$，$DO = \frac{1}{2}AC$，
$\therefore BO = DO$.
$\therefore BD$的垂直平分线经过点$O$.
(2)解：$\because$四边形$ABCD$的面积$= S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD}$，$S_{\triangle ABC}$是定值，
$\therefore S_{\triangle ACD}$有最大值时，四边形$ABCD$的面积有最大值.
$\because AC$是定长，
$\therefore$当$OD \perp AC$时，$S_{\triangle ACD}$有最大值.
如图2，作$DE \perp BD$，交$BA$的延长线于点$E$，

$\because AO = OC = OD$，$OD \perp AC$，
$\therefore AD = CD$.
$\because DE \perp BD$，
$\therefore \angle EDB = \angle ADC = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle EDA = \angle BDC$.
$\because \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAB + \angle DCB = 180^{\circ}$.
$\because \angle DAB + \angle DAE = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle DAE = \angle DCB$.
$\therefore \triangle DAE \cong \triangle DCB(ASA)$.
$\therefore DE = DB$，$AE = CB = 8$.
$\therefore \triangle DEB$是等腰直角三角形，$BE = 14$.
$\therefore BD = 7\sqrt{2}$.

4. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，在正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕点B旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么?
(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE，求BE的长.

答案：
4.【思路精析】
(1)根据“直等补”四边形的定义进行逐项证明即可得出结论；
(2)过点$C$作$CF \perp BE$于点$F$，首先证明四边形$CDEF$是矩形，则$EF = CD = 1$，再证明$\triangle ABE \cong \triangle BCF$，得$BE = CF$，设$BE = x$，根据勾股定理解出$x$的值即可.
【超详解答】
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle ABC = \angle BAD = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$.
$\because$将$\triangle BCE$绕点$B$旋转，使$BC$与$BA$重合，此时点$E$的对应点$F$在$DA$的延长线上，
$\therefore BE = BF$，$\angle CBE = \angle ABF$.
$\therefore \angle EBF = \angle ABC = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle EBF + \angle D = 180^{\circ}$.
$\therefore$四边形$BEDF$为“直等补”四边形.
(2)解：如图，过点$C$作$CF \perp BE$于点$F$，

则$\angle CFE = 90^{\circ}$，
$\because$四边形$ABCD$是“直等补”四边形，$AB = BC = 5$，$CD = 1$，$AD ＞ AB$，
$\therefore \angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle ABC + \angle D = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle D = 90^{\circ}$.
$\because BE \perp AD$，
$\therefore \angle DEF = 90^{\circ}$.
$\therefore$四边形$CDEF$是矩形.
$\therefore EF = CD = 1$.
$\because \angle ABE + \angle A = \angle CBE + \angle ABE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle A = \angle CBF$.
$\because \angle AEB = \angle BFC = 90^{\circ}$，$AB = BC = 5$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle BCF(AAS)$.
$\therefore BE = CF$.
设$BE = CF = x$，则$BF = x - 1$，
$\because$在$Rt\triangle BCF$中，$CF^{2} + BF^{2} = BC^{2}$，
$\therefore x^{2} + (x - 1)^{2} = 5^{2}$，
解得$x = 4$或$x = - 3$(舍去)，
$\therefore BE = 4$.