《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 (1) 探究: 在平面直角坐标系中, 如果两点 $ M $、$ N $ 的坐标分别是 $ (x_{1},y_{1}) $、$ (x_{2},y_{2}) $，那么 $ M $、$ N $ 两点之间的距离为$\sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}}$.
(2) 应用: 在平面直角坐标系中, 若点 $ A(1,2) $、$ B(4,-2) $, $ O $ 是坐标原点, 判断 $ \triangle AOB $ 是什么三角形, 并说明理由.
1 信息提取
(1) 探究: 在平面直角坐标系中, 如果两点 $ M $、$ N $ 的坐标分别是 $ (x_{1},y_{1}) $、$ (x_{2},y_{2}) $, 那么 $ M $、$ N $ 两点之间的距离为$\sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}}$.
(2) 应用: 在平面直角坐标系中, 若点 $ A(1,2) $、$ B(4,-2) $, $ O $ 是坐标原点, 判断 $ \triangle AOB $ 是什么三角形, 并说明理由.
2 思路精析
(1) 先构造含有 $ M $、$ N $, 且直角边均与坐标轴平行的直角三角形, 再用勾股定理表示出线段 $ MN $ 的长. (2) 根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理求解.
3 超详解答
解: (1) 如图, 过点 $ M $ 作 $ MP // y $ 轴, 过点 $ N $ 作 $ NP // x $ 轴, 两条直线相交于点 $ P $.
因为点 $ M $ 和点 $ N $ 的坐标分别为 $ (x_{1},y_{1}) $ 和 $ (x_{2},y_{2}) $,

所以点 $ P $ 的坐标为 $ (x_{1},y_{2}) $.
所以 $ MP = |y_{1} - y_{2}| $, $ NP = |x_{1} - x_{2}| $.
在 $ Rt \triangle MNP $ 中, 因为 $ MN^{2} = NP^{2} + MP^{2} $,
所以 $ MN = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}} $.
故答案为: $ \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}} $.
(2) $ \triangle AOB $ 是直角三角形. 理由如下:
因为 $ AO^{2} = (1 - 0)^{2} + (2 - 0)^{2} = 5 $,
$ BO^{2} = (4 - 0)^{2} + (-2 - 0)^{2} = 20 $,
$ AB^{2} = (4 - 1)^{2} + (-2 - 2)^{2} = 25 $,
所以 $ AO^{2} + BO^{2} = AB^{2} $.
所以 $ \triangle AOB $ 是直角三角形.

答案：
1.解:
(1) 如图, 过点 $ M $ 作 $ MP // y $ 轴, 过点 $ N $ 作 $ NP // x $ 轴, 两条直线相交于点 $ P $.
因为点 $ M $ 和点 $ N $ 的坐标分别为 $ (x_{1},y_{1}) $ 和 $ (x_{2},y_{2}) $,

所以点 $ P $ 的坐标为 $ (x_{1},y_{2}) $.
所以 $ MP = |y_{1} - y_{2}| $, $ NP = |x_{1} - x_{2}| $.
在 $ Rt \triangle MNP $ 中, 因为 $ MN^{2} = NP^{2} + MP^{2} $,
所以 $ MN = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}} $.
故答案为: $ \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}} $.
(2) $ \triangle AOB $ 是直角三角形. 理由如下:
因为 $ AO^{2} = (1 - 0)^{2} + (2 - 0)^{2} = 5 $,
$ BO^{2} = (4 - 0)^{2} + (-2 - 0)^{2} = 20 $,
$ AB^{2} = (4 - 1)^{2} + (-2 - 2)^{2} = 25 $,
所以 $ AO^{2} + BO^{2} = AB^{2} $.
所以 $ \triangle AOB $ 是直角三角形.