《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起
调整居民用水价格.图中L1、L2分别表示去年、
今年水费y(元)与用水量x(m3)之间的关系.
小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量
与去年相同,水费将比去年多210元

答案： 1【思路精析】根据函数图象中的数据可以求得x ＞ 120时，$l_2$对应的函数表达式，从而可以求得x = 150时对应的函数值，由$l_1$的图象可以求得x = 150时对应的函数值，从而可以计算并解决问题.
【超详解答】解：设当x ＞ 120时，$l_2$对应的函数表达式为$y = kx + b(k \neq 0)$，
把(120,480)和(160,720)代入，得$\begin{cases}120k + b = 480,\\160k + b = 720.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 6,\\b = - 240.\end{cases}$
即当x ＞ 120时，$l_2$对应的函数表达式为$y = 6x - 240$，当x = 150时，$y = 6×150 - 240 = 660$.
由图象可知，去年的水价是$480 ÷ 160 = 3$(元$/m^3$)，故小雨家去年用水量为$150m^3$，需要缴费$150×3 = 450$(元).$660 - 450 = 210$(元)，
即小雨家去年用水量为$150m^3$，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元.
故答案为:210.

2.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8
元/kg、12元/kg,这两种苹果的销售额y(单位:元)与销售量x(单位:kg)
之间的关系如图所示.
(1)分别求甲、乙两种苹果销售额y与销售量x之间的函数表达式，并写出x的取值范围;
(2)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值.

答案： 2【思路精析】
(1)用待定系数法分别求出甲、乙两种苹果的销售额y(单位:元)与销售量x(单位:kg)之间的函数表达式即可;
(2)分$0 \leq a \leq 30$和$30 ＜ a \leq 120$两种情况列方程求解即可.
【超详解答】解：
(1)图中点B表示当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元.
设甲种苹果的销售额y与销售量x之间的函数表达式为$y_甲 = kx(k \neq 0)$，
把(60,1200)代入，
得$1200 = 60k$，解得$k = 20$，
$\therefore y_甲 = 20x(0 \leq x \leq 120)$.
当$0 \leq x \leq 30$时，设乙种苹果的销售额y与销售量x之间的函数表达式为$y_Z = k'x(k' \neq 0)$，
把(30,750)代入，
得$750 = 30k'$，解得$k' = 25$，
$\therefore y_Z = 25x(0 \leq x \leq 30)$;
当$30 ＜ x \leq 120$时，设乙种苹果的销售额y与销售量x之间的函数表达式为$y_Z = mx + n(m \neq 0)$，
把(30,750)和(60,1200)代入，
得$\begin{cases}30m + n = 750,\\60m + n = 1200.\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 15,\\n = 300.\end{cases}$
$\therefore y_Z = 15x + 300(30 ＜ x \leq 120)$.
$\therefore$乙种苹果的销售额y与销售量x之间的函数表达式为$y_Z =\begin{cases}25x(0 \leq x \leq 30),\\15x + 300(30 ＜ x \leq 120).\end{cases}$
(2)根据“销售额=成本+利润”，分类讨论:
①当$0 \leq a \leq 30$时，
$20a + 25a = 8a + 12a + 1500$，解得$a = 60$.
$60 ＞ 30$，不合题意，舍;
②当$30 ＜ a \leq 120$时，
$20a + 15a + 300 = 8a + 12a + 1500$，
解得$a = 80$.
综上所述，a的值为80.

3.在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口
出发，沿直线匀速驶向C港口，最终到达C港口停止.设甲、乙两船行驶x(h)后,与B港口的距离分别为y1、y2(km),y1、y2与x的关系如图.
(1)B、C两港口间的距离为90km,a=2;
(2)甲船出发1小时追
上乙船;
(3)在整个过程中，当x的值为

$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$时，甲、乙两船相
距10km. 

答案： 3【思路精析】
(1)由甲船行驶的函数图象可以看出，甲船从A港口出发，0.5h后到达B港口，ah后到达C港口，又由于甲船行驶速度不变，则可以求出a的值;
(2)分别求出0.5h后，甲、乙两船与B港口距离的函数表达式，联立即可求解;
(3)分三种情形分别求解，即可解决问题.
【超详解答】解：
(1)由图象得B、C两港口间的距离为90km，由于甲船行驶速度不变，则甲船的速度为$30 ÷ 0.5 = 60(km/h)$，a的值为$(30 + 90) ÷ 60 = 2$.
故答案为:90,2.
(2)由点(3,90)，得$y_2 = 30x$.
当$0.5 ＜ x \leq 2$时，设$y_1$的函数表达式为$y_1 = ax + c$，
将点(0.5,0)，(2,90)代入，
得$\begin{cases}0.5a + c = 0,\\2a + c = 90.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 60,\\c = - 30.\end{cases}$
$\therefore y_1 = 60x - 30(0.5 ＜ x \leq 2)$.
当$y_1 = y_2$时，$60x - 30 = 30x$，解得$x = 1$.
故答案为:1.
(3)①当甲船还未追上乙船时，
$30x - (60x - 30) = 10$，解得$x = \frac{2}{3}$;
②当甲船追上乙船，但未到达C港口时，
$(60x - 30) - 30x = 10$，解得$x = \frac{4}{3}$;
③当甲船到达C港口，乙船还未到达C港口时，
$90 - 30x = 10$，解得$x = \frac{8}{3}$.
综上所述，当x为$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$时，甲、乙两船相距10km.
故答案为:$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$.