《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

2. 已知，如图，在△ABC中，AB ＞ AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB - AC ＞ PB - PC.

答案：
2.[思路精析]方法一:在AB上截取AE,使AE=AC,连接PE,证明△AEP≌△ACP,得PE=PC，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可;
方法二:延长AC到点F,使AF=AB，连接PF,证明△AFP≌△ABP,得PF=PB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可.
[超详解答]证明:方法一:如图1,在AB上截取AE,使AE=AC,连接PE，

在△AEP和△ACP中，
$\begin{cases} AE = AC, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases}$
∴△AEP≌△ACP(SAS).
∴PE=PC.
在△PBE中,BE＞PB−PE,
即AB−AC＞PB−PC;
方法二:如图2,延长AC到点F,使AF=AB,连接PF,

在△AFP和△ABP中，
$\begin{cases} AF = AB, \\ ∠2 = ∠1, \\ AP = AP, \end{cases}$
∴△AFP≌△ABP(SAS).
∴PF=PB.
在△PCF中,CF＞PF−PC,
即AB−AC＞PB−PC.

3. 把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD. 以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于点M、N.
(1) 如图1，当∠ACD + ∠MDN = 90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
(2) 如图2，在(1)的条件下，若将点M、N改在CA、BC的延长线上，其余条件不变，完成图2，则AM、MN、BN之间有何数量关系？(直接写出结论，不必证明)

答案：
3.[思路精析]
(1)延长CB到点E,使BE=AM,连接DE,先证明△DAM≌△DBE，推出∠ADM=∠BDE,DM=DE，再证明△MDN≌△EDN,推出MN=EN,即可得出结果;
(2)在BC上截取BE=AM,连接DE,先证明△DAM≌△DBE，推出∠ADM=∠BDE,DM=DE，再证明△MDN≌△EDN,推出MN=EN，即可得出结果.
[超详解答]
(1)AM+BN=MN.证明如下:如图1,延长CB到点E,使BE=AM，连接DE,

∵△ACD、△BCD是两个全等的直角三角形，
∴AD=BD,∠A=∠DBC=∠DBE=90°.
在△DAM和△DBE中，
$\begin{cases} AD = BD, \\ ∠A = ∠DBE, \\ AM = BE, \end{cases}$
∴△DAM≌△DBE(SAS).
∴∠ADM=∠BDE,DM=DE.
∵∠MDN+∠ACD=90°,∠ACD+∠ADC=90°,
∴∠MDN=∠ADC=∠CDB.
∴∠ADM=∠CDN=∠BDE.
∴∠CDM=∠NDB.
∴∠MDN=∠EDN.
在△MDN和△EDN中，
$\begin{cases} DM = DE, \\ ∠MDN = ∠EDN, \\ DN = DN, \end{cases}$
∴△MDN≌△EDN(SAS).
∴MN=EN.
∵EN=BE+BN=AM+BN,
∴AM+BN=MN.
(2)BN−AM=MN.证明如下:
如图2,在BC上截取BE=AM,连接DE,

∵∠CDA+∠ACD=90°,∠ACD+∠MDN=90°,
∴∠MDN=∠CDA.
∴∠MDA=∠CDN.
∵△ACD、△BCD是两个全等的直角三角形，
∴AD=BD,∠B=∠CAD=∠DAM=90°.
在△DAM和△DBE中，
$\begin{cases} AM = BE, \\ ∠DAM = ∠B, \\ AD = BD, \end{cases}$
∴△DAM≌△DBE(SAS).
∴∠ADM=∠BDE,DM=DE.
∵∠ADC=∠BDC=∠MDN,
∴∠MDN=∠EDN.
在△MDN和△EDN中，
$\begin{cases} DM = DE, \\ ∠MDN = ∠EDN, \\ DN = DN, \end{cases}$
∴△MDN≌△EDN(SAS).
∴MN=EN.
∵EN=BN−BE=BN−AM,
∴BN−AM=MN.