《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 如图，一棵大树在离地面 $ 3 $ 米、$ 5 $ 米两处折成三段，中间一段 $ AB $ 恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部 $ 6 $ 米处，求大树折断前的高度。

答案：
1.[思路精析]根据勾股定理解答即可.
[超详解答]解:如图,过点B作BD⊥OC于点D,

由题意,得AO=BD=3m,AB=OD=2m,
∵OC=6m,
∴DC=4m.
在Rt△BCD中，BC=√(BD²+DC²)=√(3²+4²)=5(m),
∴大树折断前的高度为5+5=10(m).

2. 如图，一根旗杆在离地面 $ 9 m $ 的点 $ A $ 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 $ 12 m $ 的点 $ B $ 处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，且旗杆的顶部落在距离旗杆底部 $ 6 m $ 的点 $ D $ 处，旗杆第二次断裂的点 $ C $ 处离地面的高度是多少？

答案： 2.[思路精析]先根据勾股定理求出AB的长，故可得出旗杆的长，再设OC=xm，根据勾股定理即可得出结论.
[超详解答]解:
∵OA=9m,OB=12m,
∴AB=√(OA²+OB²)=√(9²+12²)=15(m).
∴旗杆的长为OA+AB=9+15=24(m).
设OC=xm,则CD=(24−x)m,
在Rt△OCD中,OD²+OC²=CD²,
即6²+x²=(24−x)²,解得x=45/4.
∴旗杆第二次断裂的点C处离地面的高度是45/4米.

3. (1)学校的一棵大树被风吹断了，如图 $ 1 $，距地面 $ 6 m $ 处折断，折断的树梢顶部落在距树干底部 $ 8 m $ 处，则此树原来高16米；
(2)如图 $ 2 $，有两棵大树，一棵高 $ 8 m $，另一棵高 $ 2 m $，$ BC = 6 m $，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞6√2米；
(3)如图 $ 3 $，一架长 $ 10 m $ 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面 $ 8 m $，现将梯子顶端沿墙面下滑 $ 2 m $，则梯子底端与墙面距离是否也增加 $ 2 m $？请说明理由。

答案： 3.[思路精析]解决本题的关键是找出合适的直角三角形，并且运用勾股定理求解.
(1)△ABC为直角三角形，可以运用勾股定理;
(2)将BC向上平移2m，可以得到直角三角形，在直角三角形中已知两边，求第三边;
(3)在直角三角形ABC中求BC,在直角三角形BDE中求BE.
[超详解答]解:
(1)在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²,
∴AC=√(6²+8²)=10(m).
∴此树原来高10+6=16(m).
故答案为:16.
(2)
∵两点之间，线段最短，
∴最短距离为直接从点D飞到点A，
∴最短距离为AD=√((8−2)²+6²)=6√2(m).
故答案为:6√2.
(3)在Rt△ABC中,AB=8m,AC=10m,
∴BC=√(10²−8²)=6(m),
现将梯子顶端下移至点D,则BD=8−2=6(m),DE=10m,在Rt△BDE中,
BE=√(10²−6²)=8(m),
∴CE=8−6=2(m),
∴梯子底端与墙面距离也增加2m.