《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

2. 如图的实线部分是由 Rt△ABC 经过两次折叠得到的，首先将 Rt△ABC 沿 BD 折叠，使点 C 落在斜边上的点 C'处，再沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC'的延长线上的点 A'处. 若图中∠C = 90°，DE = 3 cm，BD = 4 cm，求 DC'的长度.

答案： 2. $\frac{12}{5}$cm

3. 如图，有一块直角三角形纸片，直角边 AC = 6 cm，BC = 8 cm.
(1)如图 1，现将纸片沿 AD 折叠，使直角边 AC 落在斜边 AB 上，则 CD =3 cm.
(2)如图 2，若将直角∠C 沿 MN 折叠，使点 C 与 AB 的中点 H 重合，点 M、N 分别在 AC、BC 上，则 AM²、BN² 与 MN² 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.

答案：
3.
(1) 3
(2) AM² + BN² = MN²，证明如下:
过点B作BP//AC交MH的延长线于点P，连接PN，

∴∠A = ∠PBH。
在△AMH和△BPH中，
{∠A = ∠PBH,
AH = BH,
∠AHM = ∠BHP,
∴△AMH ≌ △BPH(ASA)。
∴AM = BP,MH = PH。
∵∠C沿MN折叠，与点H重合，
∴∠MHN = ∠C = 90°。
∴NH⊥MP。
∴MN = NP。
∵BP//AC,∠C = 90°，
∴∠NBP = 90°。
在Rt△NBP中，BP² + BN² = NP²。
∴AM² + BN² = MN²。