《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 如图，在平面直角坐标系中，$A(-1,1)$、$B(-1,-2)$、$C(3,-2)$、$D(3,1)$，一只蚂蚁从点$A$出发以$2$个单位长度/秒的速度沿$A→B→C→D→A$的路线循环爬行，请问第$2025$秒时，蚂蚁在何处？

1 信息提取
如图，在平面直角坐标系中，$A(-1,1)$、$B(-1,-2)$、$C(3,-2)$、$D(3,1)$，一只蚂蚁从点$A$出发以$2$个单位长度/秒的速度沿$A→B→C→D→A$的路线循环爬行，请问第$2025$秒时，蚂蚁在何处？
一圈路径即为长方形的周长，循环进行
用点的坐标描述具体位置
第$2025$秒的总路程为$4050$个单位长度
2 思路精析
本题是一道循环运动找规律的试题。应先计算蚂蚁爬行一圈的长度，再计算第$2025$秒时蚂蚁已经爬行的路程，判断此时处于第几圈和余多少个单位长度，最终在平面直角坐标系中确定出点的位置。
3 超详解答
解：由$A$、$B$、$C$、$D$四点在平面直角坐标系中的位置，得$AD$与$BC$平行于$x$轴，$AB$与$CD$平行于$y$轴。
由题意，得$AB = CD = 1 - (-2) = 3$，
$BC = AD = 3 - (-1) = 4$，
$AB + BC + CD + DA = 3 + 4 + 3 + 4 = 14$，
即一圈长度为$14$个单位长度。
$2025×2 = 4050$（个），
$4050÷14 = 289$（圈）……$4$（个），
即蚂蚁的位置等同于在第一圈行进到$4$个单位长度处，
在图中可确定第$2025$秒时，蚂蚁所处的点的坐标为$(0,-2)$。

学母题 找规律
动点循环类问题的探究步骤：
① 探究运动周期；
② 分析位置关系；
③ 寻找规律和特殊点；
④ 构造数学模型。

答案：
解：由A、B、C、D四点在平面直角坐标系中的位置，得AD与BC平行于x轴，AB与CD平行于y轴。
由题意，得AB=CD=1−(−2)=3，
BC=AD=3−(−1)=4，
AB+BC+CD+DA=3+4+3+4=14，
即一圈长度为14个单位长度。
2025×2=4050（个），
4050÷14=289（圈）……4（个），
即蚂蚁的位置等同于在第一圈行进到4个单位长度处，
在图中可确定第2025秒时，蚂蚁所处的点的坐标为(0,−2)。