《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 如图，在△ABC 中，AB = 13 cm，BC = 14 cm，AC = 15 cm，求△ABC 的面积。

1. 信息提取
利用条件 准确审题
三边确定，则△ABC 的形状就确定了
只需求出一边上的高
如图，在△ABC 中，AB = 13 cm，BC = 14 cm，AC = 15 cm，求△ABC 的面积。
2. 思路精析
明确思路 快速解题
过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，则 AD 既是 Rt△ADC 的一条直角边，又是 Rt△ADB 的一条直角边，但这两个直角三角形都仅知道斜边的长，不能直接求出 AD 的长。因为 BD + CD = BC = 14 cm，所以可以设 BD = x cm，则 CD = (14 - x)cm，利用勾股定理表示出两个直角三角形的公共边 AD 的长，从而列出方程，解决问题。
3. 超详解答
满分答案 规范答题
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，

设 BD = x cm，则 CD = (14 - x)cm，
在 Rt△ADB 中，AD² = AB² - BD²，
所以 AD² = 13² - x²，
在 Rt△ADC 中，AD² = AC² - CD²，
所以 AD² = 15² - (14 - x)²，
所以 13² - x² = 15² - (14 - x)²，
13² - x² = 15² - 196 + 28x - x²，
解得 x = 5，
在 Rt△ADB 中，AD = $\sqrt{13^{2} - 5^{2}}$ = 12(cm)，
所以△ABC 的面积 = $\frac{1}{2}$BC·AD = $\frac{1}{2}$×14×12 = 84(cm)²。
学母题 找规律
像本题这样有公共边的两个直角三角形，称为双勾股模型。在双勾股模型中，常常隐含公共边即为相等的边这一条件，进而为使用勾股定理创造条件。

答案：
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，

设 BD = x cm，则 CD = (14 - x)cm，
在 Rt△ADB 中，AD² = AB² - BD²，
所以 AD² = 13² - x²，
在 Rt△ADC 中，AD² = AC² - CD²，
所以 AD² = 15² - (14 - x)²，
所以 13² - x² = 15² - (14 - x)²，
13² - x² = 15² - 196 + 28x - x²，
解得 x = 5，
在 Rt△ADB 中，AD = $\sqrt{13^{2} - 5^{2}}$ = 12(cm)，
所以△ABC 的面积 = $\frac{1}{2}$BC·AD = $\frac{1}{2}$×14×12 = 84(cm)²。
答：△ABC的面积为84cm²。