《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 班主任决定用抽签的方法在甲、乙、丙三人中选出两人代表班级参加环保活动.班主任先准备3张相同的纸条，并在其中2张纸条上画上记号，再把它们放在一个盒子中搅匀，然后让这3名学生先后从中各抽取1张纸条（抽出的纸条不放回），抽到纸条上画有记号的两名学生将参加活动.这样的抽签方式公平吗？

答案： 1.【思路精析】利用枚举法计算甲、乙、丙三人中签的概率.
【超详解答】解:假设甲、乙、丙三人抽签的顺序依次为甲、乙、丙，画有记号的两张纸条分别记为$A_1$和$A_2$，剩下的一张纸条记为$B$.
用枚举法列出所有可能出现的结果：甲$B$乙$A_1$丙$A_2$、甲$A_2$、甲$B$乙$A_2$丙$A_1$、甲$A_1$乙$B$丙$A_2$、甲$A_2$乙$B$丙$A_1$、甲$A_1$乙$A_2$丙$B$、甲$A_2$乙$A_1$丙$B$.
因此甲、乙、丙三人抽签共有6种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人中签的结果各有4种，所以
$P(甲中签) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $P(乙中签) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$,
$P(丙中签) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
三人中签的概率相同，所以这样的抽签方式是公平的.

2. 如图，一个转盘上有数字1、2、3、4四个区域，每个区域所对的圆心角皆为90°.甲、乙、丙三人进行转盘游戏，游戏规则如下：转动转盘两次，如果指针两次都落在奇数区域，则甲胜；如果指针两次都落在偶数区域，则乙胜；如果指针一次落在奇数区域，一次落在偶数区域，则丙胜.这个游戏公平吗？

答案： 2.【思路精析】利用枚举法计算甲、乙、丙三人获胜的概率.
【超详解答】解：用枚举法列出所有可能出现的结果：1和1、1和2、1和3、1和4、2和1、2和2、2和3、2和4、3和1、3和2、3和3、3和4、4和1、4和2、4和3、4和4.
因此转动两次转盘共有16种等可能的结果，其中甲胜的结果有4种，乙胜的结果有4种，丙胜的结果有8种，所以$P(甲胜) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$, $P(乙胜) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$, $P(丙胜) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$, 丙获胜的概率最高，所以这个游戏不公平.

3. 甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则如下：一个不透明的袋子中放有4个完全相同的小球，它们分别标有数字-1、2、3、5.甲先随机摸出一个小球，记下数字为x；乙再随机摸出一个小球，记下数字为y.当x＞y时甲获胜，否则乙获胜.
（1）若甲摸出的球不放回，这个游戏公平吗？
（2）若甲将摸出的球放回袋子后，乙再随机摸球，这个游戏公平吗？

答案： 3.【思路精析】利用枚举法计算甲、乙两人获胜的概率.
【超详解答】解：
(1) 用枚举法列出所有可能出现的结果：甲-1乙2、甲-1乙3、甲-1乙5、甲2乙-1、甲2乙3、甲2乙5、甲3乙-1、甲3乙2、甲3乙5、甲5乙-1、甲5乙2、甲5乙3.
因此甲、乙摸球共有12种等可能的结果，其中甲胜的结果有6种，乙胜的结果有6种，所以$P(甲胜) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, $P(乙胜) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, 两人获胜的概率相同，所以这个游戏是公平的.
(2) 用枚举法列出所有可能出现的结果：甲-1乙-1、甲-1乙2、甲-1乙3、甲-1乙5、甲2乙-1、甲2乙2、甲2乙3、甲2乙5、甲3乙-1、甲3乙2、甲3乙3、甲3乙5、甲5乙-1、甲5乙2、甲5乙3、甲5乙5.
因此甲、乙摸球共有16种等可能的结果，其中甲胜的结果有6种，乙胜的结果有10种，所以$P(甲胜) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$, $P(乙胜) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$, 乙获胜的概率大于甲获胜的概率，所以这个游戏不公平.