《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. (1) 如图 1，四边形 $ABCD$ 为等补四边形，$AB = AD$，$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$ 且满足 $\angle BAD = 60^{\circ}$，探索线段 $AB$、$BC$、$BD$ 之间的数量关系，并证明；
(2) 如图 2，四边形 $ABCD$ 为等补四边形，$AD = CD$，$\angle A+\angle C = 180^{\circ}$ 且满足 $\angle ABC = 60^{\circ}$，探索线段 $AB$、$BC$、$BD$ 之间的数量关系，并证明.

答案：
1.[思路精析]
(1)延长CD至点M,使DM=BC，连接AM,证明△ABC≌△ADM(SAS)，可确定△ACM是等边三角形，进而即可证明;
(2)延长BC至点M,使CM=AB,连接DM,过点D 作DN⊥BM于点N,证明△ADB≌△CDM(SAS),结合已知可求∠M=∠DBM=30°,BM=2MN,BM=√3BD,再由BM=BC+CM即可求解.
[超详解答]
(1)AC=BC+CD.证明如下:如图1,延长CD至点M,使DM=BC，连接AM,
　　　　　　　
∵四边形ABCD为等补四边形，
∴∠B+∠ADC=180°.
∴∠ADM=∠B.
∵AB=AD,BC=DM,
∴△ABC≌△ADM(SAS).
∴AC=AM,∠BAC=∠DAM.
∵∠BAD=60°,
∴∠CAM=60°.
∴△ACM是等边三角形.
∴AC=CM.
∵CM=DM+CD=BC+CD,
∴AC=BC+CD.
(2)AB+BC=√3BD.证明如下:
　如图2,延长BC至点M,使CM=AB，连接DM,过点D作DN⊥BM于点N，
　　　　　　
∵四边形ABCD为等补四边形，
∴∠A+∠BCD=∠BCD+∠DCM=180°,
∴∠A=∠DCM.
∵AD=CD,AB=CM,
∴△ADB≌△CDM(SAS).
∴DB=DM,∠ADB=∠CDM.
　又DN⊥BM,
∴N为BM的中点.
∴BM=2MN.
∵∠ABC=60°,
∴∠ADC=120°.
∴∠BDM=120°.
∴∠M=∠DBM=30°.
　在Rt△DNM中,MN=√3/2DM=√3/2BD,
∴BM=√3BD.
∵BM=BC+CM,
∴AB+BC=√3BD.