《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 如图，在正方形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 作射线 $OM$、$ON$ 分别交边 $BC$、$CD$ 于点 $E$、$F$，且 $\angle EOF = 90^{\circ}$，连接 $EF$。求证：

(1) $\triangle BOE \cong \triangle COF$；(2) $BE^{2} + CE^{2} = 2OE^{2}$。
1 信息提取
利用条件 准确审题
正方形 $ABCD$，对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$，$\angle EOF = 90^{\circ}$。
$\angle BOC = 90^{\circ}$，$OB = OC$，$\angle OBE = \angle OCF = 45^{\circ}$
$\angle COE + \angle COF = 90^{\circ}$，$OF^{2} + OE^{2} = EF^{2}$
2 思路精析
明确思路 快速解题
(1) 根据正方形的性质得 $OB = OC$，$\angle OBE = \angle OCF = 45^{\circ}$，$\angle BOC = 90^{\circ}$，因为 $\angle EOF = 90^{\circ}$，所以 $\angle BOE = \angle COF$，由此可依据“ASA”判定 $\triangle BOE \cong \triangle COF$；
(2) 由 $\triangle BOE \cong \triangle COF$，得 $BE = CF$，$OE = OF$，在 $Rt\triangle CEF$ 中，$CF^{2} + CE^{2} = EF^{2}$，所以 $BE^{2} + CE^{2} = EF^{2}$，只需要再证明 $EF^{2} = 2OE^{2}$ 即可。
3 超详解答
满分答案 规范答题
证明：(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，
$\therefore OB = OC$，$\angle OBE = \angle OCF = 45^{\circ}$，$\angle BOC = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BOE + \angle COE = 90^{\circ}$。
$\because \angle EOF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle COE + \angle COF = 90^{\circ}$。$\therefore \angle BOE = \angle COF$。
在 $\triangle BOE$ 和 $\triangle COF$ 中，$\begin{cases} \angle OBE = \angle OCF \\ OB = OC \\ \angle BOE = \angle COF \end{cases}$
$\therefore \triangle BOE \cong \triangle COF(ASA)$。
(2) $\because \triangle BOE \cong \triangle COF$，
$\therefore BE = CF$，$OE = OF$。
在 $Rt\triangle CEF$ 中，$CF^{2} + CE^{2} = EF^{2}$，
$\therefore BE^{2} + CE^{2} = EF^{2}$。
在 $Rt\triangle OEF$ 中，$OF^{2} + OE^{2} = EF^{2}$，
$\therefore EF^{2} = 2OE^{2}$。
$\therefore BE^{2} + CE^{2} = 2OE^{2}$。
学母题 找规律
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，可以充分运用对称性来解决问题。

答案： 证明：
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，
$\therefore OB = OC$，$\angle OBE = \angle OCF = 45^{\circ}$，$\angle BOC = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BOE + \angle COE = 90^{\circ}$。
$\because \angle EOF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle COE + \angle COF = 90^{\circ}$。$\therefore \angle BOE = \angle COF$。
在 $\triangle BOE$ 和 $\triangle COF$ 中，$\begin{cases} \angle OBE = \angle OCF \\ OB = OC \\ \angle BOE = \angle COF \end{cases}$
$\therefore \triangle BOE \cong \triangle COF(ASA)$。
(2) $\because \triangle BOE \cong \triangle COF$，
$\therefore BE = CF$，$OE = OF$。
在 $Rt\triangle CEF$ 中，$CF^{2} + CE^{2} = EF^{2}$，
$\therefore BE^{2} + CE^{2} = EF^{2}$。
在 $Rt\triangle OEF$ 中，$OF^{2} + OE^{2} = EF^{2}$，
$\therefore EF^{2} = 2OE^{2}$。
$\therefore BE^{2} + CE^{2} = 2OE^{2}$。