《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

3. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $BC$ 上(点 $E$ 与点 $B$、$C$ 不重合)，过点 $E$ 作 $FG \perp AE$，$FG$ 与边 $CD$ 相交于点 $F$，与边 $AB$ 的延长线相交于点 $G$。
(1)猜想线段 $BG$、$CF$、$BE$ 之间的数量关系是BG+CF=BE，并证明你的猜想；
(2)连接 $AF$，如果正方形的边长为 2，设 $BE = x$，$\triangle AFG$ 的面积为 $y$，直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围。

答案：
3.【思路精析】
(1)过点F作FH⊥AB于点H，可证到△FHG≌△ABE(AAS)，再由三角形全等的性质可以得到BG+CF=BE；
(2)连接AF，由三角形全等的性质以及勾股定理求出FG、AE的值，进而表示出$S_{△AFG}$.
【超详解答】
(1)BG+CF=BE.证明如下：
如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，则∠FHG=90°，

∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，
∴四边形HBCF是矩形.
∴FH=BC=AB，HB=CF.
∵AE⊥FG，∠ABC=90°，
∴∠FGH=90°-∠BEG=∠AEB.
又∠ABE=∠FHG=90°，
∴△FHG≌△ABE(AAS).
∴HG=BE，即BG+HB=BE.
∵HB=CF，
∴BG+CF=BE.
故答案为：BG+CF=BE.
(2)如图，连接AF，
∵△FHG≌△ABE，
∴$FG=AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4+x^{2}}$.
∴$S_{△AFG}=\frac{1}{2}FG· AE=\frac{4+x^{2}}{2}$
∴$y=\frac{4+x^{2}}{2}$，自变量x的取值范围是0＜x＜2.