《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 解决下列问题：
(1)已知 $x$、$y$ 是实数，且 $y = \sqrt{4x - 1} + \sqrt{1 - 4x} - \frac{1}{2}$，则 $xy$ 的值等于-\frac{1}{8}；
(2)已知 $|3x - y - 1|$ 和 $\sqrt{2x + y - 4}$ 互为相反数，求 $x + 4y$ 的平方根。
1 信息提取 利用条件 准确审题
解决下列问题：
(1)已知 $x$、$y$ 是实数，且 $y = \sqrt{4x - 1} + \sqrt{1 - 4x} - \frac{1}{2}$，则 $xy$ 的值等于-\frac{1}{8}；
(2)已知 $|3x - y - 1|$ 和 $\sqrt{2x + y - 4}$ 互为相反数，求 $x + 4y$ 的平方根。
2 思路精析 明确思路 快速解题
(1)根据被开方数 $4x - 1 \geq 0$，且 $1 - 4x \geq 0$，可得 $x$ 的值，从而求出 $y$ 的值，可得答案；
(2)因为 $|3x - y - 1|$ 和 $\sqrt{2x + y - 4}$ 都是非负数，且这两个数互为相反数，所以 $|3x - y - 1| = 0$ 且 $\sqrt{2x + y - 4} = 0$，可得 $x$、$y$ 的值，从而解决问题。
3 超详解答 满分答案 规范答题
解：(1)由题意，得 $\begin{cases}4x - 1 \geq 0, \\ 1 - 4x \geq 0,\end{cases}$
解得 $x = \frac{1}{4}$。
把 $x = \frac{1}{4}$ 代入 $y = \sqrt{4x - 1} + \sqrt{1 - 4x} - \frac{1}{2}$，
得 $y = -\frac{1}{2}$。
所以 $xy = \frac{1}{4} × (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$。
(2)由题意，得 $|3x - y - 1| + \sqrt{2x + y - 4} = 0$，
因为 $|3x - y - 1| \geq 0$，且 $\sqrt{2x + y - 4} \geq 0$，
所以 $3x - y - 1 = 0$，且 $2x + y - 4 = 0$，
解得 $x = 1$，$y = 2$。
所以 $x + 4y$ 的平方根为 $\pm \sqrt{1 + 4 × 2} = \pm 3$。

答案：
(1)$-\frac{1}{8}$；解：
(1)由题意，得 $\begin{cases}4x - 1 \geq 0, \\ 1 - 4x \geq 0,\end{cases}$
解得 $x = \frac{1}{4}$。
把 $x = \frac{1}{4}$ 代入 $y = \sqrt{4x - 1} + \sqrt{1 - 4x} - \frac{1}{2}$，
得 $y = -\frac{1}{2}$。
所以 $xy = \frac{1}{4} × (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$。
(2)由题意，得 $|3x - y - 1| + \sqrt{2x + y - 4} = 0$，
因为 $|3x - y - 1| \geq 0$，且 $\sqrt{2x + y - 4} \geq 0$，
所以 $3x - y - 1 = 0$，且 $2x + y - 4 = 0$，
解得 $x = 1$，$y = 2$。
所以 $x + 4y$ 的平方根为 $\pm \sqrt{1 + 4 × 2} = \pm 3$。
(2)$\pm 3$