《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 计算：
(1)$(2x^{3}+3x - 4)÷(x - 3)$；
(2)$(3x^{5}-5x^{4}+x^{2}+2)÷(x^{2}+3)$。

答案：
1.[思路精析]根据多项式除法的运算，分别列竖式，求商式以及余式.
[超详解答]解:
(1)
　　　　　　　　　
∴(2x³+3x - 4)÷(x - 3)=2x²+6x+21……59.
(2)
　　　
∴(3x⁵−5x⁴+x²+2)÷(x²+3)=3x³−5x²−9x+16……27x−46.

2. 如图，已知一个长为$(x + 2)$，宽为$(x - 2)$的长方形$A$，若将它的长增加$6$，宽增加$a$，就得到一个新长方形$B$，此时长方形$B$的周长是长方形$A$周长的$2$倍（如图）。另有长方形$C$的一边长为$(x + 10)$，若长方形$B$的面积比长方形$C$的面积大$76$，求长方形$C$的另一边长。

答案：
2.[思路精析]分别求出长方形A、B的周长为4x和4x+2a+12，根据长方形B的周长是长方形A周长的2倍，可以求出a = 2x - 6.继续计算长方形B的面积为3x²+16x - 64，可得长方形C的面积为3x²+16x - 140.再利用多项式除法可得长方形C的另一边长为(3x - 14).
[超详解答]解：长方形A的周长为2(x + 2 + x - 2)=4x.
长方形B的周长为2(x - 2 + a + x + 2 + 6)=4x+2a+12.
∵长方形B的周长是长方形A周长的2倍.
∴4x+2a+12=8x.
∴a = 2x - 6.
∴长方形B的面积为(x + 2 + 6)(x - 2 + 2x - 6)=(x + 8)(3x - 8)=3x²+16x - 64.
∴长方形C的面积为3x²+16x - 140.
∴长方形C的另一边长为(3x²+16x - 140)÷(x + 10)=3x - 14.竖式计算如图所示:
　　　　　　
∴长方形C的另一边长为(3x - 14).

3. 若多项式$2x^{4}+4x^{3}+ax^{2}+8x - b$能被$x^{2}-x + 1$整除，求$a^{b}$的值。

答案：
3.[思路精析]能被整除，即余式为零，所以竖式最后的差值为0，可得到关于a和b的一元一次方程，进行求解.
[超详解答]解：多项式2x⁴+4x³+ax²+8x - b能被x² - x + 1整除，
　　　　
∴a + 4-(-2)=0,-b-(-2)=0.
∴a=-6,b=2.
∴aᵇ=(-6)²=36.