《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

2. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle DAB = 60^{\circ}$，点 $E$ 是 $DA$ 的中点，$F$ 是对角线 $AC$ 上一点，且 $\angle DEF = 45^{\circ}$，求 $AF:FC$ 的值。

答案：
2.解:如图，连接DB,交AC于点O，连接OE,　　　　　　
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°,
∴$∠DAC=\frac{1}{2}∠DAB=30°$,AC⊥BD,$OD=\frac{1}{2}BD$,AC=2AO,AB=AD.
∴△ABD是等边三角形.
∴DB=AD.
∵∠AOD=90°，点E是DA的中点，
∴OE=AE=DE=$\frac{1}{2}AD$.
∴设OE=AE=DE=a.
∴AD=BD=2a.
∴$OD=\frac{1}{2}BD=a$.在Rt△AOD中，$AO=\sqrt{AD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}-a^{2}}=\sqrt{3}a$，
∴AC=2AO=$2\sqrt{3}a$.
∵EA=EO，
∴∠EAO=∠EOA=30°.
∴∠DEO=∠EAO+∠EOA=60°.
∵∠DEF=45°，
∴∠OEF=∠DEO - ∠DEF=15°.
∴∠EFO=∠EOA - ∠OEF=15°.
∴∠OEF=∠EFO=15°.
∴OE=OF=a.
∴$AF=AO+OF=\sqrt{3}a+a$.
∴$FC=AC - AF=\sqrt{3}a - a$.
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{\sqrt{3}a+a}{\sqrt{3}a - a}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}$.

3. 如图，菱形 $ABCD$ 的边长为 $6$，$\angle ADC = 120^{\circ}$，点 $P$ 在边 $AB$ 上，且 $AP = 4$，点 $Q$ 是边 $AD$ 上的一个动点，点 $Q$ 从点 $A$ 运动到点 $D$。连接 $PQ$，将线段 $PQ$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ 得线段 $PQ'$。
(1) 在点 $Q$ 运动过程中，求证：点 $Q'$ 在某一固定线段上运动；
(2) 直接写出线段 $DQ'$ 长度的取值范围。

答案：
3.
(1)证明:如图，在AD上截取AE=AP,连接EP、EQ′，　　　　　
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°,
∴AD=AB，∠A=60°.
∵AP=AE，
∴△APE是等边三角形.
∴AP=PE，∠APE=60°.
∵将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得线段PQ′，
∴PQ=PQ′，∠QPQ′=60°.
∴∠APE=∠QPQ′=60°.
∴∠APQ=∠EPQ′.在△APQ和△EPQ′中，$\begin{cases} AP=EP, \\ ∠APQ=∠EPQ′, \\ PQ=PQ′, \end{cases}$
∴△APQ≌△EPQ′(SAS).
∴AQ=EQ′，∠A=∠PEQ′=60°.
∴∠APE=∠PEQ′=60°.
∴EQ′//AB.
∴点Q′在过点E，且平行于AB的直线上运动.
∵点Q是边AD上的一个动点，点Q从点A运动到点D,
∴点Q′从点E出发，运动的距离为AD的长，即EQ″的长.
∴点Q′在某一固定线段上运动.
(2)解:如图,过点D作DN⊥EQ′于点N,
∵AE=AP=4,AD=6,
∴DE=2.
∵EQ′//AB，
∴∠A=∠DEN=60°.
∵DN⊥EQ′，
∴∠EDN=30°.
∴$EN=\frac{1}{2}DE=1,DN=\sqrt{3}EN=\sqrt{3}$.
∵EQ′//AB，AB//CD,
∴EQ′//CD.又AD//BC,
∴四边形DCQ′E是平行四边形.
∴DC=EQ″=6.
∴NQ″=5.
∴$DQ′=\sqrt{DN^{2}+NQ″^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+5^{2}}=2\sqrt{7}$.
∴$\sqrt{3} \leq DQ′ \leq 2\sqrt{7}$.