《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$、$F$、$G$、$H$ 分别是各边的中点，且 $AB // CD$，$AD // BC$，四边形 $EFGH$ 是矩形。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2) 若矩形 $EFGH$ 的周长为 22，四边形 $ABCD$ 的面积为 10，求 $AB$ 的长。

答案：
1.【思路精析】
(1)先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AC⊥BD，从而得出四边形ABCD是菱形；
(2)根据矩形EFGH的周长和四边形ABCD的面积求出AC²+BD²=444，得出AO²+BO²=111，由此得出AB的长。
【超详解答】
(1)证明：连接AC、BD交于点O，交FG于点N，交HG于点M,
　　　　　　
∵AB//CD,AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠HGF=90°。
∵H、G分别是AD、DC的中点，
∴HG//AC,HG=$\frac{1}{2}$AC。
∴∠HGF=∠GNC=90°。
∵G、F分别是DC、BC的中点，
∴GF//BD,GF=$\frac{1}{2}$BD。
∴∠GNC=∠MOC=90°。
∴AC⊥BD。
又四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形。
(2)解：
∵矩形EFGH的周长为22，
∴HG+FG=11。
∴AC+BD=22。
∵四边形ABCD的面积为10，
∴$\frac{1}{2}$AC·BD=10。
∴AC·BD=20。
∵(AC+BD)²=AC²+2AC·BD+BD²=484，
∴AC²+BD²=444。
∴$\frac{1}{4}$AC²+$\frac{1}{4}$BD²=111，
即($\frac{1}{2}$AC)²+($\frac{1}{2}$BD)²=111。
∴AO²+BO²=111。
∴AB²=AO²+BO²=111。
∴AB=$\sqrt{111}$