《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 已知 $a,b,c$ 为实数，且 $\dfrac{ab}{a + b}=\dfrac{1}{3},\dfrac{bc}{b + c}=\dfrac{1}{4},\dfrac{ac}{c + a}=\dfrac{1}{5}$。
求 $\dfrac{abc}{bc + ac + ab}$ 的值。
1. 信息提取
等号左侧分式的形式一致，分子为两数之积，分母为这两数之和。
分式分别取倒数可得 $\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}$ 和 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$。
已知 $a,b,c$ 为实数，且 $\dfrac{ab}{a + b}=\dfrac{1}{3},\dfrac{bc}{b + c}=\dfrac{1}{4},\dfrac{ac}{c + a}=\dfrac{1}{5}$。求 $\dfrac{abc}{bc + ac + ab}$ 的值。
分式的分子为三数之积，分母为每两数乘积之和，分式取倒数可得 $\dfrac{bc + ac + ab}{abc}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$。
2. 思路精析
由 $\dfrac{a + b}{ab}=\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}=3,\dfrac{b + c}{bc}=\dfrac{b}{bc}+\dfrac{c}{bc}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}=4,\dfrac{c + a}{ac}=\dfrac{c}{ac}+\dfrac{a}{ac}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=5$，
可以求出 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ 的值，从而解决问题。
3. 超详解答
解：由 $\dfrac{ab}{a + b}=\dfrac{1}{3}$，可得 $\dfrac{a + b}{ab}=3$，即 $\dfrac{a + b}{ab}=\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}=3$，
由 $\dfrac{bc}{b + c}=\dfrac{1}{4}$，可得 $\dfrac{b + c}{bc}=\dfrac{b}{bc}+\dfrac{c}{bc}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}=4$，
由 $\dfrac{ac}{c + a}=\dfrac{1}{5}$，可得 $\dfrac{c + a}{ac}=\dfrac{c}{ac}+\dfrac{a}{ac}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=5$，
即 $\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}=3,\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}=4,\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=5$。
将三式相加，可得 $2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})=12$，即 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=6$，
即 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{bc + ac + ab}{abc}=6$，
所以 $\dfrac{abc}{bc + ac + ab}=\dfrac{1}{6}$。

答案： $\dfrac{1}{6}$