《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 如图，已知菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，点 $M$、$N$ 分别是边 $BC$、$CD$ 上的两个动点，$\angle MAN = 60^{\circ}$，连接 $MN$。
(1) $\triangle AMN$ 是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由。
(2) 在点 $M$、$N$ 运动的过程中，四边形 $CMAN$ 的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，请说明理由。

答案：
1.
(1)△AMN是等边三角形，证明如下:如图1,连接AC,　　　　　
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D=60°,AB=BC=CD=AD.
∴△ABC、△ACD都是等边三角形.
∴AB=AC,∠B=∠BAC=∠ACD=∠MAN=60°.
∴∠BAM=∠CAN.在△BAM和△CAN中，$\begin{cases} ∠B=∠ACN, \\ AB=AC, \\ ∠BAM=∠CAN, \end{cases}$
∴△BAM≌△CAN(ASA).
∴AM=AN.又∠MAN=60°,
∴△AMN是等边三角形.
(2)解:四边形CMAN的面积不发生变化.
∵△BAM≌△CAN,
∴$S_{△BAM}=S_{△CAN}$.
∴$S_{四边形CMAN}=S_{△AMC}+S_{△CAN}=S_{△AMC}+S_{△BAM}=S_{△ABC}$.如图2,作AH⊥BC，交BC于点H，　　　　　
∵AB=2,∠B=60°,∠AHB=90°,
∴BH=1.
∴$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$.
∴$S_{四边形CMAN}=S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AH=\frac{1}{2} × 2 ×\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
∴四边形CMAN的面积不变化，是$\sqrt{3}$.