《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 探究：在平面直角坐标系中，令直线$l_{1}$为过点$(m,0)$且平行于$y$轴的直线，直线$l_{2}$为过点$(0,n)$且平行于$x$轴的直线，则点$(a,b)$关于直线$l_{1}$的对称点坐标是(2m - a,b)，点$(a,b)$关于直线$l_{2}$的对称点坐标是(a,2n - b)，点$(a,b)$关于点$(m,n)$的对称点坐标是(2m - a,2n - b)。

应用：如图，已知点$A(3,3)$，$B(2,2)$，$C(4,1)$是平面直角坐标系上的三个点。
(1) 画出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
(2) 画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$关于过点$(1,0)$且平行于$y$轴的直线对称的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$；
(3) 思考$\triangle ABC$和$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$的关系，你有什么发现？

1 信息提取
应用：(1) 画出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数
(2) 画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$关于过点$(1,0)$且平行于$y$轴的直线对称的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$；
(3) 思考$\triangle ABC$和$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$的关系，你有什么发现？
数量关系、位置关系
2 思路精析
利用轴对称和中心对称的性质，分析对应点坐标的数量关系，在平面直角坐标系中定点画图。
3 超详解答
解：探究：$(2m - a,b)$，$(a,2n - b)$，$(2m - a,2n - b)$。
应用：(1)(2)如图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$和$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求。
(3)$\triangle ABC$和$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$全等，且关于点$(1,0)$中心对称。由作图发现，两次轴对称变换(对称轴不平行)，效果相当于一次旋转。若两次轴对称变换的对称轴互相垂直，效果即为一次中心对称变换。对称中心即为两条对称轴的交点。

答案：
探究：$(2m - a,b)$，$(a,2n - b)$，$(2m - a,2n - b)$。应用：
(1)
(2)如图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$和$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求。
(3)$\triangle ABC$和$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$全等，且关于点$(1,0)$中心对称。由作图发现，两次轴对称变换(对称轴不平行)，效果相当于一次旋转。若两次轴对称变换的对称轴互相垂直，效果即为一次中心对称变换。对称中心即为两条对称轴的交点。