《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 如图，菱形 $ABCD$ 的边长为 $6$，$\angle DAB = 60^{\circ}$，$E$、$F$ 分别是边 $AB$、$BC$ 上的两个动点，且满足 $AE = BF$。

(1) 求 $AC$ 的长；
(2) 判断 $\triangle DEF$ 的形状，并说明理由；
(3) 设 $\triangle DEF$ 的周长为 $l$，求 $l$ 的最小值。
信息提取
四边形 $ABCD$ 的四边相等，对角线 $AC$、$BD$ 互相垂直平分
$AE$ 和 $BF$ 分别在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle BDF$ 中
菱形 $ABCD$，$\angle DAB = 60^{\circ}$，$E$、$F$ 分别是边 $AB$、$BC$ 上的两个动点，且满足 $AE = BF$。
$\triangle ABD$、$\triangle CBD$ 都是等边三角形
思路精析
(1) 根据菱形四边相等和 $\angle DAB = 60^{\circ}$，可证得 $\triangle ABD$ 是等边三角形，求得 $BD = 6$，再根据菱形对角线互相垂直平分，由勾股定理求得 $AO$ 的长，进而求出 $AC$ 的长；
(2) 先证明 $\triangle ADE \cong \triangle BDF$，得 $DE = DF$，$\angle ADE = \angle BDF$，进而得到 $\angle EDF = 60^{\circ}$，从而得到 $\triangle DEF$ 是等边三角形；
(3) 要使得等边三角形 $DEF$ 的周长最小，只需要边长最小即可。因为点 $D$ 是定点，点 $E$ 在边 $AB$ 上运动，所以当 $DE \perp AB$ 时，$DE$ 最短，从而求出 $l$ 的最小值。
超详解答
解：(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AD = AB$，$AC \perp BD$，$AC = 2OA$，$BD = 2OD$。
又 $\angle DAB = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABD$ 是等边三角形。
$\therefore BD = AB = AD = 6$，
$\therefore OD = \frac{1}{2}BD = 3$。
在 $Rt\triangle AOD$ 中，$OA^{2} + OD^{2} = AD^{2}$，
$\therefore OA = \sqrt{AD^{2} - OD^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{3}$。
$\therefore AC = 2OA = 6\sqrt{3}$。
(2) $\triangle DEF$ 是等边三角形。理由如下：
$\because \triangle ABD$ 是等边三角形，
$\therefore AD = BD$，$\angle ADB = \angle DBA = 60^{\circ}$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle DAB = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = 120^{\circ}$。$\therefore \angle DBF = 60^{\circ}$。
在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle BDF$ 中，
$\begin{cases}AD = BD, \\\angle DAE = \angle DBF, \\AE = BF,\end{cases}$
$\therefore \triangle ADE \cong \triangle BDF(SAS)$。
$\therefore DE = DF$，$\angle ADE = \angle BDF$。
$\therefore \angle ADB = \angle ADE + \angle EDB = \angle BDF + \angle EDB = \angle EDF = 60^{\circ}$。
$\therefore \triangle DEF$ 是等边三角形。
(3) 当 $DE \perp AB$ 时，$DE$ 最短，此时 $\triangle DEF$ 的周长 $l$ 最小，
$\because$ 在 $Rt\triangle ADE$ 中，$\angle DAE = 60^{\circ}$，$AD = 6$，
$\therefore AE = 3$。
$\therefore DE = \sqrt{AD^{2} - AE^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{3}$。
$\because \triangle DEF$ 是等边三角形，
$\therefore l$ 的最小值为 $3\sqrt{3} × 3 = 9\sqrt{3}$。

答案： 解：
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore AD = AB$，$AC \perp BD$，$AC = 2OA$，$BD = 2OD$。又 $\angle DAB = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle ABD$ 是等边三角形。$\therefore BD = AB = AD = 6$，
$\therefore OD = \frac{1}{2}BD = 3$。在 $Rt\triangle AOD$ 中，$OA^{2} + OD^{2} = AD^{2}$，$\therefore OA = \sqrt{AD^{2} - OD^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{3}$。$\therefore AC = 2OA = 6\sqrt{3}$。
(2) $\triangle DEF$ 是等边三角形。理由如下：$\because \triangle ABD$ 是等边三角形，$\therefore AD = BD$，$\angle ADB = \angle DBA = 60^{\circ}$。$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle DAB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = 120^{\circ}$。$\therefore \angle DBF = 60^{\circ}$。在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle BDF$ 中，$\begin{cases}AD = BD, \\\angle DAE = \angle DBF, \\AE = BF,\end{cases}$$\therefore \triangle ADE \cong \triangle BDF(SAS)$。$\therefore DE = DF$，$\angle ADE = \angle BDF$。$\therefore \angle ADB = \angle ADE + \angle EDB = \angle BDF + \angle EDB = \angle EDF = 60^{\circ}$。$\therefore \triangle DEF$ 是等边三角形。
(3) 当 $DE \perp AB$ 时，$DE$ 最短，此时 $\triangle DEF$ 的周长 $l$ 最小，$\because$ 在 $Rt\triangle ADE$ 中，$\angle DAE = 60^{\circ}$，$AD = 6$，$\therefore AE = 3$。$\therefore DE = \sqrt{AD^{2} - AE^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{3}$。$\because \triangle DEF$ 是等边三角形，$\therefore l$ 的最小值为 $3\sqrt{3} × 3 = 9\sqrt{3}$。