《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来，体现了数形结合思想。
(1)由数到形：在数轴上用尺规作图作出表示$-\sqrt{5}$的点$P$(不要写作法，保留作图痕迹)。

(2)由形到数：如图，在数轴上，点$A$、$B$表示的数分别为$0$、$2$。作$BC\perp AB$于点$B$，截取$BC = 1$；连接$AC$，以点$C$为圆心，$CB$长为半径画弧，交$AC$于点$D$；以点$A$为圆心，$AD$长为半径画弧，交$AB$于点$E$，则点$E$表示的实数是$\sqrt{5}-1$。

1 信息提取
利用条件 准确审题
利用勾股定理，构造长为$\sqrt{5}$的线段
在数轴上用尺规作图作出表示$-\sqrt{5}$的点$P$。
利用勾股定理计算出$AC$的长
点$A$、$B$表示的数分别为$0$、$2$。作$BC\perp AB$于点$B$，截取$BC = 1$；连接$AC$，以点$C$为圆心，$CB$长为半径画弧，交$AC$于点$D$；以点$A$为圆心，$AD$长为半径画弧，交$AB$于点$E$。
可以计算出$CD$的长
可以计算出$AD$的长
2 思路精析
明确思路 快速解题
(1)先作出两条直角边长分别为$1$和$2$的直角三角形$OAB$，然后以点$O$为圆心，$OB$的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点$P$，则点$P$表示的数为$-\sqrt{5}$；
(2)先利用勾股定理计算出$AC = \sqrt{5}$，再得出$CD$的长，计算出$AD$的长，则可得到$AE$的长，从而得到点$E$所表示的数。
3 超详解答
满分答案 规范答题
解：(1)如图，点$P$为所作。
(2)由作法，得$CD = CB = 1$，$AD = AE$，
$\because BC\perp AB$，
$\therefore \angle ABC = 90^{\circ}$。
$\because AB = 2$，$BC = 1$，
$\therefore AC = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$。
$\therefore AD = AC - CD = \sqrt{5} - 1$。
$\therefore AE = \sqrt{5} - 1$。
$\therefore$点$E$表示的实数是$\sqrt{5} - 1$。

学母题 找规律
在数轴上表示无理数的关键是构造长度为无理数的线段，一般可以通过构造直角三角形来实现。

答案：

(1)如图，点$P$为所作。

(2)由作法，得$CD = CB = 1$，$AD = AE$，
$\because BC\perp AB$，
$\therefore \angle ABC = 90^{\circ}$。
$\because AB = 2$，$BC = 1$，
$\therefore AC = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$。
$\therefore AD = AC - CD = \sqrt{5} - 1$。
$\therefore AE = \sqrt{5} - 1$。
$\therefore$点$E$表示的实数是$\sqrt{5} - 1$。