《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

2. 如图，设村庄A、B、C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2$\sqrt{3}$km，∠ACB=60°。现欲建一中转站P，沿直线向A、B、C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A、B、C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，$\sqrt{2}$a元/km，选取合适的中转站P的位置，可以使总的铺设成本最低，求最低成本。(结果用含a的式子表示)

答案：
2.[思路精析]作出图形，用勾股定理解直角三角形即可.
[超详解答]解:
∵总铺设成本=PA×a+PB×a+PC×$\sqrt{2}$a=a(PA+PB+$\sqrt{2}$PC),
∴当PA+PB+$\sqrt{2}$PC最小时，总铺设成本最低.
将△APC绕点C顺时针旋转90°得到△A'P'C,连接PP'、A'B,

由旋转性质可知:P'C=PC,∠PCP'=∠ACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4km,
∴PP'=$\sqrt{2}$PC.
∴PA+PB+$\sqrt{2}$PC=P'A'+PB+PP'.当点B、P、P'、A'在同一条直线上时，P'A'+PB+PP'取最小值,即PA+PB+$\sqrt{2}$PC取最小值为A'B,
过点A'作A'H⊥BC于点H，
∵∠ACB=60°,∠ACA'=90°,
∴∠A'CH=30°.
∴A'H=$\frac{1}{2}$A'C=2(km).
∴HC=$\sqrt{A'C^{2} - A'H^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{3}$(km).
∴BH=BC+CH=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$(km).
∴A'B=$\sqrt{A'H^{2} + BH^{2}} = \sqrt{2^{2} + (4\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{13}$(km),即PA+PB+$\sqrt{2}$PC的最小值为2$\sqrt{13}$km,
∴总铺设成本为a(PA+PB+$\sqrt{2}$PC)=2$\sqrt{13}$a(元).

3. 如图是一个三角形公园，其中顶点A、B、C为公园的出入口，∠A=75°，AB=2$\sqrt{2}$km，AC=4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离之和最小，求PA+PB+PC的最小值。

答案：
3.[思路精析]作出图形，用勾股定理解直角三角形即可.
[超详解答]解:如图，将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△C'AP',连接PP'、BC',可得当B、P、P'、C'四点在同一条直线上时，PA+PB+PC的值最小,最小值为BC',过点C'作C'D⊥BA交BA的延长线于点D.由旋转的性质可得∠CAC'=60°,AC'=AC=4km,

∵∠BAC=75°,
∴∠C'AD=180°−∠CAC'−∠BAC=45°.
∴△C'DA是等腰直角三角形.
∴AD=C'D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC'=2$\sqrt{2}$(km).
∴BD=AB+AD=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$(km).
∴BC'=$\sqrt{C'D^{2} + BD^{2}} = 2\sqrt{10}$(km).
∴PA+PB+PC的最小值为2$\sqrt{10}$km.