《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 (1) 如图 1 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 $ b $，较短直角边长为 $ a $，若 $ (a + b)^2 = 21 $，大正方形的面积为 13，求小正方形的面积；
(2) 把“赵爽弦图”里的 4 个全等的直角三角形适当拼合，得到图 2，设直角三角形的直角边分别为 $ a $、$ b $，斜边为 $ c $，尝试利用图 2 证明勾股定理。

1 信息提取 利用条件 准确审题
(1) 如图 1 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 $ b $，较短直角边长为 $ a $，若 $ (a + b)^2 = 21 $，大正方形的面积为 13，求小正方形的面积； 可得 $ a^2 + b^2 = 13 $
(2) 把“赵爽弦图”里的 4 个全等的直角三角形适当拼合，得到图 2，设直角三角形的直角边分别为 $ a $、$ b $，斜边为 $ c $，尝试利用图 2 证明勾股定理。 常考虑用两种不同的方式来表示同一图形的面积
2 思路精析 明确思路 快速解题
(1) 先求出 $ ab $ 的值，再利用大正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积即可；(2) 根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于一个中正方形的面积加上一个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证。
3 超详解答 满分答案 规范答题
解：(1) 由题意，得 $ a^2 + b^2 = 13 $，$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 21 $，
所以 $ 2ab = 21 - 13 = 8 $。
所以 4 个直角三角形的面积和为 $ 4 × \frac{1}{2}ab = 2ab = 8 $。
所以小正方形的面积为 $ 13 - 8 = 5 $。
(2) 图形的总面积可以表示为 $ c^2 + 2 × \frac{1}{2}ab $ 或 $ a^2 + b^2 + 2 × \frac{1}{2}ab $，
所以 $ c^2 + 2 × \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + 2 × \frac{1}{2}ab $。
整理得 $ c^2 + ab = a^2 + b^2 + ab $，所以 $ a^2 + b^2 = c^2 $。
学母题 找规律
图形类问题，往往要用到数形结合的思想，既可以从形的角度寻找数的等量关系，也可以从数的角度寻找形的性质。本题第(1)问也可以从数的角度来求，小正方形的面积为 $ (b - a)^2 $，结合已知条件 $ a^2 + b^2 = 13 $ 和 $ (a + b)^2 = 21 $ 即可解决，感兴趣的同学可以试一试。

答案： 1.【思路精析】由题意可知$HE = a - b = 2$，可求得正方形$EFGH$的面积，进而求出四个直角三角形的面积和，再利用勾股定理求出$a^{2} + b^{2}$的值，则可求得答案。
【超详解答】解：$\because HE = a - b = 2$，
$\therefore S_{正方形EFGH} = HE^{2} = 4$。
$\because AD = c = 10$，
$\therefore S_{正方形ABCD} = AD^{2} = 100$。
$\therefore$四个直角三角形的面积和$= S_{正方形ABCD} - S_{正方形EFGH} = 100 - 4 = 96$，
$\therefore 4 × \frac{1}{2}ab = 96$，解得$2ab = 96$。
$\because a^{2} + b^{2} = c^{2} = 100$，
$\therefore (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = 100 + 96 = 196$。
故答案为：$196$。
2.【思路精析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解。
【超详解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，且$a ＞ b$，
由题意，可知$S_{1} = (a + b)^{2}$，$S_{2} = a^{2} + b^{2}$，$S_{3} = (a - b)^{2}$，
因为$S_{1} + S_{2} + S_{3} = 10$，
即$(a + b)^{2} + (a^{2} + b^{2}) + (a - b)^{2} = 10$，
所以$3(a^{2} + b^{2}) = 10$。
所以$3S_{2} = 10$。
所以$S_{2}$的值是$\frac{10}{3}$。
故答案为：$\frac{10}{3}$。
3.【思路精析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解。
【超详解答】解：在$Rt\triangle CFG$中，由勾股定理得$CG^{2} + CF^{2} = GF^{2}$，
$\because$八个直角三角形全等，四边形$ABCD$、四边形$EFGH$、四边形$MNKT$是正方形，
$\therefore CG = KG = FN$，$CF = DG = KF$。
$\therefore S_{1} = (CG + DG)^{2}$
$= CG^{2} + DG^{2} + 2CG · DG$
$= CG^{2} + CF^{2} + 2CG · DG$
$= GF^{2} + 2CG · DG$，
$S_{2} = GF^{2}$，
$S_{3} = (KF - NF)^{2}$
$= KF^{2} + NF^{2} - 2KF · NF$
$= KF^{2} + KG^{2} - 2DG · CG$
$= GF^{2} - 2CG · DG$，
$\because$正方形$EFGH$的边长为$4$，
$\therefore GF^{2} = 16$。
$\therefore S_{1} + S_{2} + S_{3} = GF^{2} + 2CG · DG + GF^{2} + GF^{2} - 2CG · DG = 3GF^{2} = 48$。