《2025年名校课堂七年级数学上册华师大版河南专版》

10. (清华附中校本经典题) 如图，直线 $ AB $，$ CD $，$ EF $ 相交于点 $ O $.
(1) 写出 $ \angle DOA $，$ \angle EOC $ 的对顶角；
(2) 如果 $ \angle AOC = 50^{\circ} $，求 $ \angle BOD $，$ \angle COB $ 的度数.

答案： 解:
(1)∠DOA的对顶角是∠COB,∠EOC的对顶角是∠DOF.
(2)
∵∠AOC=50°,
∴∠BOD=50°,∠COB=180°−50°=130°.

11. 如图，取两根木条 $ a $，$ b $，将它们钉在一起，固定木条 $ a $，转动木条 $ b $，当 $ \angle 1 $ 增大 $ 4^{\circ} $ 时，下列说法正确的是(B)

A.$ \angle 2 $ 增大 $ 4^{\circ} $
B.$ \angle 3 $ 增大 $ 4^{\circ} $
C.$ \angle 4 $ 增大 $ 4^{\circ} $
D.$ \angle 4 $ 减小 $ 2^{\circ} $

答案： B

12. (兰生复旦校本经典题) 如图，直线 $ l_1 $，$ l_2 $，$ l_3 $ 相交于点 $ O $，$ \angle 1 = 40^{\circ} $，$ \angle 2 = 50^{\circ} $，则 $ \angle 3 $ 的度数为90°.

答案： 90°

13. 如图所示，直线 $ a $，$ b $，$ c $ 两两相交，$ \angle 1 = 60^{\circ} $，$ \angle 2 = \frac{2}{3} \angle 4 $，则 $ \angle 3 = $120°，$ \angle 5 = $90°.

答案： 120°　90°

14. 如图，已知直线 $ AD $，$ BE $ 相交于点 $ O $，$ \angle DOE $ 与 $ \angle COE $ 互余，$ \angle COE = 55^{\circ} $，求 $ \angle AOB $ 的度数.

答案： 解:
∵∠DOE与∠COE互余，
∴∠COE+∠EOD=90°.
∵∠COE =55°,
∴∠DOE=90°−∠COE=35°.
∴∠AOB=∠DOE=35°.

15. (人大附中校本经典题) 如图，直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ OA $ 平分 $ \angle EOC $.
(1) 若 $ \angle EOC = 70^{\circ} $，求 $ \angle BOD $ 的度数；
(2) 若 $ \angle EOC : \angle EOD = 2 : 3 $，求 $ \angle BOD $ 的度数.

答案： 解:
(1)
∵OA平分∠EOC,∠EOC=70°,
∴∠AOE=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠EOC=35°.
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠BOD=35°.
(2)
∵∠EOC :∠EOD=2:3,∠EOC+∠EOD=180°,
∴∠EOC=180°×$\frac{2}{5}$=72°,∠EOD=180°×$\frac{3}{5}$=108°.
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠EOC=36°.
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠BOD=36°.

16. (新考向 推理能力) 观察下列图形，寻找对顶角(不含平角).
【特例分析】
(1) 如图 1，两条直线相交于一点，共有2对对顶角；如图 2，三条直线相交于一点，共有6对对顶角；如图 3，四条直线相交于一点，共有12对对顶角；
【规律总结】
(2) 根据填空结果探究：当 $ n $ 条直线相交于一点时，共有n(n−1)对对顶角；
【规律应用】
(3) 根据探究结果，求 1 000 条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数.

答案： 解:
(1)2　6　12　
(2)n(n−1)　
(3)1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为1000×999=999000.