《2025年名校课堂七年级数学上册华师大版河南专版》

6. 如图，C 为线段 AB 上的一点，D 为 BC 的中点，点 C 把线段 AD 分成两部分，其中 AC：CD = 4：1，且 AB = 12。
(1) 求 AC 的长；
(2) 若点 E 在线段 AB 所在的直线上，且 AE = 3，求 DE 的长。

答案： 解:
(1)
∵D为BC的中点，
∴BC=2CD=2BD.
∵AC:CD=4:1,
∴AC=4CD.
∴AB=AC+BC=4CD+2CD=12,解得CD=2.
∴AC=4CD=4×2=8.
(2)①如图1,当点E在线段AB上时，
DE=AB−AE−DB=12−3−2=7;②如图2,当点E在线段BA的延长线上，
DE=AB+AE−BD=12+3−2=13.综上所述,DE的长为7或13.

7. 已知∠AOB，过点 O 引两条射线 OC，OM，且 OM 平分∠AOC。
(1) 如图，若∠AOB = 120°，∠BOC = 30°，且点 C 在∠AOB 的内部，求∠MOB 的度数。
以下是求∠MOB 的度数的解题过程，请补充完整：
解：∵∠AOC = ∠AOB - ∠BOC，
∠AOB = 120°，∠BOC = 30°，
∴∠AOC = 90°。
∵OM 平分∠AOC，
∴∠MOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 45°。
∵∠MOB = ∠MOC + ∠BOC，
∴∠MOB = 75°。

(2) 若∠AOB = α，∠BOC = β(其中 α ＜ β ＜ 90°)，画出图形，并求∠BOM 的度数(用含 α，β 的代数式表示)。

答案： 解:
(1)$\angle AOC\ 45\ \angle BOC\ 75$
(2)分两种情况讨论:①当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时，如图1所示.
∵∠AOB=α,∠BOC=β,
∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=β−α.
∵OM平分∠AOC,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{\beta - \alpha}{2}$.
∴∠BOM=∠AOB+∠AOM=α + $\frac{\beta - \alpha}{2}$=$\frac{\alpha + \beta}{2}$.
②当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时，如图2所示.
∵∠AOB=α,∠BOC=β,
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=α+β.
∵OM平分∠AOC,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{\alpha + \beta}{2}$.
∴∠BOM=∠AOM−∠AOB=$\frac{\alpha + \beta}{2}$−α=$\frac{\beta - \alpha}{2}$.综上所述,∠BOM的度数为$\frac{\alpha + \beta}{2}$或$\frac{\beta - \alpha}{2}$.

8. 如图，C，D 是线段 AB 上的两点，AB = a，CD = b，M，N，P 分别为 AC，CD，DB 的中点，
(1) 求 AM + CN + DP 的长；
(2) 求 AM + PB 的长；
(3) 求 PM 的长。

答案： 解:
(1)
∵M,N,P分别为AC,CD,DB的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC,CN=$\frac{1}{2}$CD,DP=$\frac{1}{2}$DB.
∴AM+CN+DP=$\frac{1}{2}$(AC+CD+DB)=$\frac{1}{2}$AB.
∵AB=a,
∴AM+CN+DP=$\frac{1}{2}$a.
(2)
∵M,P分别为AC，DB的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC,PB=$\frac{1}{2}$DB.
∴AM+PB=$\frac{1}{2}$(AC+DB)=$\frac{1}{2}$(AC+CD+DB−CD)=$\frac{1}{2}$AB−$\frac{1}{2}$CD.
∵AB=a,CD=b,
∴AM+PB=$\frac{1}{2}$a−$\frac{1}{2}$b.
(3)根据图形可知,PM=AB−(AM+PB).
∵AB=a,AM+PB=$\frac{1}{2}$a−$\frac{1}{2}$b,
∴PM=a−($\frac{1}{2}$a−$\frac{1}{2}$b)=a−$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b.