《2025年名校课堂七年级数学上册华师大版河南专版》

【例】如图，$\angle AOC = 130^{\circ}$，$\angle BOC = 50^{\circ}$，且 $OD$ 平分 $\angle AOB$，$OE$ 平分 $\angle BOC$。
(1)求 $\angle DOE$ 的度数；
(2)若将条件“$\angle BOC = 50^{\circ}$”删去，其余条件不变，则 $\angle DOE$ 的度数是否会改变？请说明理由。

【拓展提问】若 $OB$ 在 $\angle AOC$ 的外部，其他条件不变，则 $\angle DOE =$65°。

答案： 【例】解：
(1)
∵∠AOC = 130°，∠BOC = 50°，
∴∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 130° - 50° = 80°.
∵OD平分∠AOB，
∴∠DOB = 80°÷2 = 40°.
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE = 50°÷2 = 25°.
∴∠DOE = ∠DOB + ∠BOE = 40° + 25° = 65°.
(2)不会变.理由如下：
∵OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，
∴$∠DOB = \frac{1}{2}∠AOB，$$∠BOE = \frac{1}{2}∠BOC.$
∵∠AOB + ∠BOC = ∠AOC，
∴$∠DOE = ∠DOB + ∠BOE = \frac{1}{2}∠AOC = 65°.【$拓展提问】 65°

【变式 1】如图，已知 $OE$ 平分 $\angle AOC$，$OF$ 平分 $\angle BOC$。
(1)若 $\angle AOB = 70^{\circ}$，$\angle BOC = 30^{\circ}$，则 $\angle EOF =$35°；
——教材 P163 习题 T8 变式
(2)若 $\angle AOB = \alpha$，$\angle BOC = \beta$，求 $\angle EOF$ 的度数。
(3)通过(1)(2)的计算，能发现什么？

答案： 【变式1】解：
(1)35°
(2)
∵OE平分∠AOC，
∴$∠EOC = \frac{1}{2}∠AOC.$
∵OF平分∠BOC，
∴$∠COF = \frac{1}{2}∠BOC.$
∴$∠EOF = ∠EOC - ∠COF = \frac{1}{2}∠AOC - \frac{1}{2}∠BOC = \frac{1}{2}(∠AOC - ∠BOC) = \frac{1}{2}∠AOB = \frac{1}{2}α.(3)$发现$∠EOF = \frac{1}{2}∠AOB，$与∠BOC的度数无关.

【变式 2】如图，$\angle AOB = 80^{\circ}$，$\angle AOC ＜ 180^{\circ}$，$OE$ 平分 $\angle AOD$，$OF$ 平分 $\angle BOC$。若 $\angle COD = 50^{\circ}$，求 $\angle EOF$ 的度数。

答案： 【变式2】解：
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，
∴设∠AOE = ∠EOD = α，∠BOF = ∠FOC = β.
∴∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 2α，∠BOC = ∠COD + ∠BOD = 2β.
∴∠AOB + ∠COD + 2∠BOD = 2α + 2β.
∵∠AOB = 80°，∠COD = 50°，
∴2α + 2β = 130° + 2∠BOD，即α + β - ∠BOD = 65°.
∴∠EOF = ∠EOD + ∠BOF - ∠BOD = α + β - ∠BOD = 65°.