《2025年名校课堂七年级数学上册华师大版河南专版》

1. (2023·岳阳)观察下列式子：$1^{2}-1 = 1×0$；$2^{2}-2 = 2×1$；$3^{2}-3 = 3×2$；$4^{2}-4 = 4×3$；$5^{2}-5 = 5×4\cdots\cdots$
依此规律，则第 $n$($n$ 为正整数)个等式是$n^{2}-n=n(n - 1)$.

答案： $n^{2}-n=n(n - 1)$

2. (2024·云南改编)按一定规律排列的代数式：$2x$，$3x^{2}$，$4x^{3}$，$5x^{4}$，$6x^{5}$，$\cdots$，第 $n$ 个代数式是$(n + 1)x^{n}$.

答案： $(n + 1)x^{n}$

3. (2024·河南师大附中期中)观察下面按某种规律排列的数：$-1$，$\frac{3}{4}$，$-\frac{5}{9}$，$\frac{7}{16}$，$\cdots$，则第 $n$ 个数是$(-1)^{n}\cdot\frac{2n - 1}{n^{2}}$.

答案： $(-1)^{n}\cdot\frac{2n - 1}{n^{2}}$

4. $A$湖南师大附中校本经典题如图，我们做一个游戏：从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指$\cdots$的顺序依次数正整数 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$\cdots$，当第 $n$ 次数到中指时，恰好数到的数是$4n - 1$(用含 $n$ 的代数式表示).

答案： $4n - 1$

5. 新考向 跨学科 有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物.有机物主要由碳元素、氢元素组成，烷烃是最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体.如图，这是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，我们可以得出烷烃的通式是(各选项中 $n\geqslant 1$)(C)


A.${C_{n}H_{2n}}$
B.${C_{n}H_{n + 2}}$
C.${C_{n}H_{2n + 2}}$
D.${C_{n}H_{2n + 4}}$

答案： C

6. (2023·山西)如图所示的是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第 $1$ 个图案中有 $4$ 个白色圆片，第 $2$ 个图案中有 $6$ 个白色圆片，第 $3$ 个图案中有 $8$ 个白色圆片，第 $4$ 个图案中有 $10$ 个白色圆片$\cdots\cdots$依此规律，第 $n$ 个图案中有__________个白色圆片（用含 $n$ 的代数式表示）.

答案： $(2n + 2)$

7. 【观察思考】
【规律发现】
(1)第 $5$ 个图案中“$◯$”的个数是15；第 $n$ 个图案中“$◯$”的个数是3n；
(2)第 $1$ 个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{1×2}{2}$；第 $2$ 个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{2×3}{2}$；第 $3$ 个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{3×4}{2}$；第 $4$ 个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{4×5}{2}$；$\cdots\cdots$第 $n$ 个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{n(n + 1)}{2}$；
【猜想说理】
(3)有人猜想：第 $2 025$ 个图案中“$\bigstar$”的个数与第 $2 024$ 个图案中“$\bigstar$”的个数之差为 $2 025$.你同意他的说法吗？请通过计算说明理由.

答案：
(1)15；3n；
(2)$\frac{n(n + 1)}{2}$；
(3)同意.理由：因为第2025个图案中“★”的个数为$\frac{2025×2026}{2}$，第2024个图案中“★”的个数为$\frac{2024×2025}{2}$，所以第2025个图案中“★”的个数与第2024个图案中“★”的个数之差为$\frac{2025×2026}{2}-\frac{2024×2025}{2}=2025×(1013 - 1012)=2025$.