《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

12. 如图,在平面直角坐标系中,第一象限内的点P在射线OA上,OP= 20,cosα= $\frac{4}{5}$,则点P的坐标为(B)

A.(16,20)

B.(16,12)
C.(20,16)
D.(12,16)

答案： B

13. [转化思想]如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,D为AB的中点,连接CD。若BC= 4,CD= 3,则cos∠DCB的值为$\frac{2}{3}$。

答案： $\frac{2}{3}$

14. [T4变式]如图,△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上,则cosA的值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

答案： $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

15. 如图,在△ABC中,AB= 10,cos∠ABC= $\frac{3}{5}$,D为BC边上一点,且AD= AC。若CD= 4,求BD的长。
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答案： 4

16. 新考向 阅读理解 阅读下面的材料,先填空,再按要求答题。
sin30°= $\frac{1}{2}$,cos30°= $\frac{\sqrt{3}}{2}$,则sin^230°+cos^230°= 1；
sin45°= $\frac{\sqrt{2}}{2}$,cos45°= $\frac{\sqrt{2}}{2}$,则sin^245°+cos^245°= 1；
sin60°= $\frac{\sqrt{3}}{2}$,cos60°= $\frac{1}{2}$,则sin^260°+cos^260°= 1；
……
观察上述式子,猜想：对于任意锐角A,都有sin^2A+cos^2A= 1。
(1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的概念及勾股定理证明上述猜想；
(2)已知∠A为锐角,且sinA= $\frac{3}{5}$,求cosA的值。
]

答案： 1 1 1 1
(1)证明:如图，过点B作$BH\perp AC$于点H,则在$Rt\triangle ABH$中,$BH^{2}+AH^{2}=AB^{2}$,$\sin A=\frac{BH}{AB}$,$\cos A=\frac{AH}{AB}$,$\therefore \sin^{2}A+\cos^{2}A=\frac{BH^{2}}{AB^{2}}+\frac{AH^{2}}{AB^{2}}=\frac{BH^{2}+AH^{2}}{AB^{2}}=\frac{AB^{2}}{AB^{2}}=1$.
(2)解:$\because \sin^{2}A+\cos^{2}A=1$,$\sin A=\frac{3}{5}$,$\therefore \cos^{2}A=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$.又$\cos A＞0$,$\therefore \cos A=\frac{4}{5}$.