《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

1. 定义：在平面直角坐标系中,点$P(a,b)$,点$Q(c,d)$,若$c = ka$,$d = -kb$,其中$k$为常数,且$k\neq0$,则称点$Q是点P$的“$k$级变换点”。例如,点$(-4,6)是点(2,3)$的“$-2$级变换点”。则反比例函数$y = -\frac{18}{x}的图象上是点(1,2)$的“$k$级变换点”的是(3,-6)或(-3,6)。

答案： (3,-6)或(-3,6)

2. [2024·祁阳期末]在平面直角坐标系中,对于不在坐标轴上的任意点$A(x,y)$,我们把点$B(\frac{1}{x},\frac{1}{y})称为点A$的“倒数点”。
(1)写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标：(-1,-1)；
(2)$P是反比例函数y = \frac{\sqrt{2}}{x}(x＞0)$图象上的一点,求出点$P$的“倒数点”$Q$满足的函数表达式；
(3)如图,矩形$OCDE的顶点C的坐标为(3,0)$,顶点$E在y$轴上,函数$y = \frac{2}{x}(x＞0)的图象与DE交于点A$。若点$B是点A$的“倒数点”,且点$B在矩形OCDE$的一边上,求$\triangle OBC$的面积。

(2)设点P的坐标为$\left(a,\frac{\sqrt{2}}{a}\right)$.
因为点Q是点P的“倒数点”，所以$Q\left(\frac{1}{a},\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$,
所以点Q的横、纵坐标满足$\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
所以点Q满足的函数表达式为$y=\frac{\sqrt{2}}{2x}$.
(3)设点A的坐标为$\left(m,\frac{2}{m}\right)$.
因为点B是点A的“倒数点”，所以$B\left(\frac{1}{m},\frac{m}{2}\right)$,
所以点B的横、纵坐标满足$\frac{1}{m}\cdot\frac{m}{2}=\frac{1}{2}$,
所以点B在函数$y=\frac{1}{2x}$的图象上,且点B不在坐标轴上，
所以点B只能在边ED或CD上,分下列两种情况讨论:
①当点B在边ED上时,点A,B的纵坐标相同,即$\frac{m}{2}=\frac{2}{m}$,
所以m=2或m=-2(不合题意,舍去)，
所以点B的纵坐标为1.
因为C(3,0),所以OC=3.所以$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$.
②当点B在边CD上时,点B的横坐标为3,即$\frac{1}{m}=3$,
所以$m=\frac{1}{3}$,所以$\frac{m}{2}=\frac{1}{6}$,即点B的纵坐标为$\frac{1}{6}$,
所以$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}×3×\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$.
综上所述,$\triangle OBC$的面积为$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{4}$.

答案： 解:
(1)(-1,-1)
(2)设点P的坐标为$\left(a,\frac{\sqrt{2}}{a}\right)$.
因为点Q是点P的“倒数点”，所以$Q\left(\frac{1}{a},\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$,
所以点Q的横、纵坐标满足$\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
所以点Q满足的函数表达式为$y=\frac{\sqrt{2}}{2x}$.
(3)设点A的坐标为$\left(m,\frac{2}{m}\right)$.
因为点B是点A的“倒数点”，所以$B\left(\frac{1}{m},\frac{m}{2}\right)$,
所以点B的横、纵坐标满足$\frac{1}{m}\cdot\frac{m}{2}=\frac{1}{2}$,
所以点B在函数$y=\frac{1}{2x}$的图象上,且点B不在坐标轴上，
所以点B只能在边ED或CD上,分下列两种情况讨论:
①当点B在边ED上时,点A,B的纵坐标相同,即$\frac{m}{2}=\frac{2}{m}$,
所以m=2或m=-2(不合题意,舍去)，
所以点B的纵坐标为1.
因为C(3,0),所以OC=3.所以$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$.
②当点B在边CD上时,点B的横坐标为3,即$\frac{1}{m}=3$,
所以$m=\frac{1}{3}$,所以$\frac{m}{2}=\frac{1}{6}$,即点B的纵坐标为$\frac{1}{6}$,
所以$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}×3×\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$.
综上所述,$\triangle OBC$的面积为$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{4}$.

3. 定义：若点$A$在一个函数的图象上,且点$A$的横、纵坐标相等,则称点$A$为这个函数的“等点”。
(1)关于“等点”,下列说法正确的有①③(填序号)；
①函数$y = \frac{2}{x}$有两个“等点”；②函数$y = x + 4$有一个“等点”；③函数$y = -\frac{3}{x}$没有“等点”。
(2)已知反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)与一次函数y = -x - 6$的图象上有同一个“等点”,求反比例函数的表达式；
$y=\frac{9}{x}$
(3)函数$y = \frac{k}{x}$的图象上有两个“等点”$A$,$B$,设$A$,$B两点之间的距离为m$,若$8 ＜ m^2 ＜ 50$,求$k$的取值范围。
$1＜k＜\frac{25}{4}$

答案： $(1)①③ (2)y=\frac{9}{x}. (3)1＜k＜\frac{25}{4}.$