《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

1. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx - 8 = 0 $ 的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

2. [新定义问题]定义新运算：$ a※b = a^{2}-ab + b $,例如 $ 2※1 = 2^{2}-2×1 + 1 = 3 $,则方程 $ x※2 = 0 $ 的根的情况为(C)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

答案： C

3. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+2x + c = 0 $ 没有实数根,则 $ c $ 的值可以是(A)
A.2
B.1
C.-1
D.0

答案： A

4. [2024·湖南中考]若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + 2k = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ k $ 的值为2。

答案： 2

5. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^{2}+3x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ m $ 的取值范围是$m＜\frac{9}{4}$且$m\neq0$。
变式题 [条件变式]若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^{2}-x-\frac{3}{4}= 0 $ 有实数根,则实数 $ k $ 的取值范围是$k\geqslant-\frac{1}{3}$且$k\neq0$。

答案： $m＜\frac{9}{4}$且$m\neq0 [$变式题$]k\geqslant-\frac{1}{3}$且$k\neq0$

6. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx - 8 = 0 $ 的一个实数根为 2,则另一实数根及 $ m $ 的值分别为(D)
A.4,-2
B.-4,-2
C.4,2
D.-4,2

答案： D

7. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(k - 2)x - 1 = 0 $ 的两个根互为相反数,则 $ k $ 的值为2。

答案： 2

8. [整体思想][2024·成都中考]若 $ m $,$ n $ 是一元二次方程 $ x^{2}-5x + 2 = 0 $ 的两个实数根,则 $ m+(n - 2)^{2} $ 的值为7。

答案： 7

9. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-10x + m = 0 $ 的两个实数根,且其面积为 11,则该菱形的边长为$\sqrt{14}$。

答案： $\sqrt{14}$

10. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^{2}-4kx + 2k^{2}+3k - 3 = 0 $ 有两个实数根。
(1) 求实数 $ k $ 的取值范围。
(2) 设 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 是该方程的两个实数根,是否存在实数 $ k $,使得等式 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= \frac{1}{2} $ 成立？如果存在,请求出 $ k $ 的值；如果不存在,请说明理由。

答案： $(1)k\leqslant1.(2)$存在.k的值为$-\frac{1}{2}.$