《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

7. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}+2x - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $k$ 的取值范围是k＞$\frac{1}{2}$且k≠1.

答案： k＞$\frac{1}{2}$且k≠1

8. 若 $|a|\lt4$,则关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+ax + 4 = 0$ 的根的情况是(C)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不确定

答案： C

9. [易错题]关于 $x$ 的方程 $(k - 3)x^{2}-4x + 2 = 0$ 有实数根,则 $k$ 的取值范围是(C)
A.$k\leq5$ 且 $k\neq3$
B.$k\lt5$ 且 $k\neq3$
C.$k\leq5$
D.$k\lt5$

答案： C

10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}-x - \frac{1}{4}= 0(a\neq0)$ 有两个不相等的实数根,则点 $P(a + 1,-a - 3)$ 位于第四象限.

答案： 四

11. [2025·武冈期中]已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6mx + 9m^{2}-1 = 0$.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根为 $x_{1},x_{2}$,且 $x_{1}\lt x_{2}$,若 $x_{2}= 2x_{1}-3$,求 $m$ 的值.

答案：
(1)略.
(2)2.

12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c)x^{2}-2bx + a - c = 0$,其中 $a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三边长.
(1)若 $x = 1$ 是方程的根,试判断 $\triangle ABC$ 的形状,并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根,试判断 $\triangle ABC$ 的形状,并说明理由；
(3)若 $\triangle ABC$ 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

答案： 解:
(1)△ABC是等腰三角形.理由如下:因为x=1是方程的根,所以a+c-2b+a-c=0,所以a=b,所以△ABC为等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:因为关于x的一元二次方程(a+c)x²-2bx+a-c=0有两个相等的实数根,所以△=0,即(-2b)²-4(a+c)(a-c)=0,所以a²=b²+c²,所以△ABC是直角三角形.
(3)因为△ABC是等边三角形,所以a=b=c＞0,所以方程(a+c)x²-2bx+a-c=0可化为2ax²-2ax=0,即x²-x=0,解得x₁=0,x₂=1.